Obiettivi: Gli assiomi della geometria euclidea
1. Euclide ha cercato di descrivere l'ambiente geometrico nel quale era immerso partendo da premesse del tipo seguente, da lui (e dai suoi contemporanei) ritenute evidenti punti di partenza:
I) Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro;
II) se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali;
III) se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali;
IV) cose che coincidono tra loro sono fra loro uguali;
V) il tutto è maggiore della parte.
I) Si può condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto;
II) una retta può essere prolungata continuamente;
III) si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio;
IV) tutti gli angoli retti sono uguali fra loro;
V) se una retta incontra altre due rette formando angoli interni dalla stessa parte la cui somma è minore di due retti, allora le due rette prolungate si incontreranno da quella parte in cui si sono formati gli angoli suddetti.
Nozioni comuni e postulati prendono, modernamente, il nome di assiomi.
Completano l'introduzione dell'opera di Euclide diverse definizioni, per esempio:
I) Punto è ciò che non ha parti;
II) linea è lunghezza senza larghezza;
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X) quando una linea retta ne incontra un'altra formando con questa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno di tali angoli è retto e la retta si dice perpendicolare all'altra;
XI) un angolo ottuso è un angolo più grande di un angolo retto
XII) un angolo acuto è un angolo più piccolo di un angolo retto
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2. Senza utilizzare il 5° postulato Euclide dimostra le seguenti proposizioni:
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PROP.16 Teorema dell'angolo esterno di un triangolo
PROP.17 In ogni triangolo la somma di due angoli qualsiasi è minore di due retti
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PROP.27 Se due segmenti tagliati da un altro formano angoli alterni interni uguali fra loro, quei due segmenti sono paralleli (prolungati, non si incontrano)
PROP.28 Se due segmenti tagliati da un altro formano angoli corrispondenti uguali fra loro, quei due segmenti sono paralleli
Deve ricorrere però al 5° postulato per dimostrare la
PROP.29 Un segmento che incontra due segmenti paralleli forma con essi angoli alterni interni uguali fra loro
Ancora, senza il 5° postulato (ma utilizzando il 2°, sul prolungamento della retta), Saccheri e, più tardi e in modo più preciso, Legendre dimostrano come complemento alla PROP.17, che
la somma degli angoli di un triangolo è minore o uguale a due retti.
3. L'ultimo risultato (somma degli angoli minore o uguale a due retti) è stato ottenuto assumendo possibile il prolungamento della retta. In caso contrario si può ottenere una diversa geometria (sulla sfera), dove la somma degli angoli di un triangolo può superare due retti (considerando, per esempio, due meridiani perpendicolari fra loro e con l'equatore).