1. Le nozioni comuni sono affermazioni ritenute vere in ogni ambiente, anche non geometrico.

2. I postulati stabiliscono comportamenti di tipo costruttivo nell'ambiente geometrico.

3. Le definizioni sono importanti per  intendersi parlando di qualcosa: Euclide cerca di dare 23 definizioni descrittive, ma è evidente e inevitabile il rimando ad altre parole che pure dovrebbero essere definite...

4. L' angolo tra due archi di circonferenza è misurato considerando quello tra le due tangenti agli archi nel loro punto di intersezione.
Si può vedere la variazione della misura dell'angolo muovendo l'intersezione P tra A e B nella figura seguente:

5.  PROP 16

dimostrazione

Costruito il punto medio E di AC si prolunga BE (postulato 2) fino ad ottenere F tale che BE = EF. I due triangoli ABE e FEC sono uguali (hanno due lati e l'angolo compreso uguali; in termini più precisi, sono isometrici) per cui ACD > ECF = EAB.
Prendendo il punto medio di BC ed eseguendo una analoga costruzione  risulta pure  ACD=BCG > ABC.

6. PROP 17

dimostrazione

ACD > ABC  (prop. 16)

ACD + ACB > ABC + ACB

2R > ABC + ACB           (2R = due retti, 180°)

In modo analogo si procede per le altre due coppie di angoli.

7.  PROP 27

dimostrazione

Se AC e DF non sono parallele, allora, per esempio, si incontrano nel punto G; ma allora, nel triangolo BGE l'angolo esterno ABE risulta uguale all'angolo interno non adiacente BEG, il che è impossibile (prop. 16).

8. PROP. 28

dimostrazione

Per ipotesi, HBC = BEF (vale a dire, CBE + FEB = 2R), ma HBC = ABE, per cui ABE = BEF.
Dunque, AC e DF sono paralleli (prop. 27).

9. PROP 29

dimostrazione

Supponiamo che ARS risulti diverso da RSD; per esempio, ARS > RSD.
Allora, ARS + BRS > RSD +BRS  e quindi  2R > RSD + BRS.
Per il 5° postulato ne segue che le due rette AB e CD devono incontrarsi, contro l'ipotesi.

10. Complemento di Saccheri-Legendre

dimostrazione

Supponiamo che la somma degli angoli del triangolo ABC sia maggiore di due retti, ad esempio 2R + ε ;  effettuando la simmetria centrale rispetto al punto medio R di BC si ottiene il triangolo ABD in cui la somma degli angoli rimane invariata, ma un angolo diminuisce diventando non più della metà di CAB; ripetendo la simmetria rispetto al punto medio di BD, la somma risulta sempre invariata nella trasformazione, ma un angolo diminuisce sempre più diventando minore di ε ; dunque la somma di due angoli diviene > 2R, contro la prop. 17.