1.    Pensiamo alla Terra su cui viviamo e immaginiamola perfettamente sferica. Renato è nella posizione A e Lucia nella posizione B, a 50 metri di distanza (ovviamente non in scala in figura), su una strada rettilinea: due punticini da lontano!

Considerare come un punto ogni persona del pianeta e come una retta ogni circonferenza di un cerchio massimo sulla sfera, vale a dire di un cerchio con centro nel centro O della sfera.
Si può cercare di descrivere questo ambiente affermando che:

I)  per due punti passa sempre una retta;

II) due rette distinte si possono intersecare al più in due punti.

Ma non si può dire che:

"per due punti passa una sola retta"

perché se si considerano, ad esempio, due punti sui poli opposti M e N, allora passano per essi infinite rette.

Non si può stabilire neanche un ordine dei punti sulle rette, perchè non ha senso affermare che 10 metri dopo Lucia c'è Simone (punto C), in quanto se B è tra A e C è anche vero che C è tra A e B (pensando all'arco di cerchio di lunghezza maggiore).

E' ancora opportuno osservare che la superficie sferica è illimitata, ma non infinita.

2.  Considerare infinite rette tra loro parallele come in figura e stabilire che un punto X precede un punto Y se X si trova su una retta più in alto di Y oppure, nel caso che i due punti siano sulla stessa retta, se X è a sinistra di Y.

Definire nel modo consueto un segmento XY, vale a dire, come l'insieme dei punti che contiene gli estremi X,Y e tutti quei punti che seguono X e precedono Y.

In tal caso, considerati i due segmenti AB e AE, con AB < AE (B precede E), non esiste un multiplo di AB che supera AE (contro le assunzioni di Eudosso-Archimede).

Però è vero, ad esempio, che se B è tra A e C (segue A e precede C) allora A non è tra B e C e neppure C è tra A e B.
Inoltre, dati due punti A e B, esiste sempre un punto C tale che B è tra A e C.
Ancora, se A precede B e B precede C allora A precede C.

Conclusioni

Come ci è stato insegnato fin dai tempi di Platone, quando due o più persone discutono su qualcosa, non basta assegnare dei nomi per essere certi di intendere le stesse cose.
Gli esempi precedenti hanno mostrato come siano importanti le affermazioni che si fanno sul comportamento degli oggetti associati a quei nomi; anche così, comunque, non si può essere sicuri, ad un certo momento, di avere determinato con precisione quello che si sta pensando di trattare.
Partendo da alcune premesse e utilizzando determinate regole si possono, comunque, raggiungere diverse conclusioni.