1. Gli angoli in C e in D sono uguali fra loro.  

Infatti, i triangoli DCB e ADC sono isometrici in quanto risulta  DB = AC, AD = BC  e DAC = DBC.

Ipotesi II.

In tal caso, AB > CD.

Infatti, consideriamo l'asse di AB, nel punto M; poichè, in tal caso, i triangoli DMN e CMN sono isometrici, tale retta è anche asse di CD.
Se fosse DN > AM, allora trasportando DN su AM, a partire da M, si otterrebbe un punto E a sinistra di A (EM = DN); poichè, nel quadrilatero (di Saccheri) NDEM, sulla base MN, l'angolo in D è ottuso, anche l'angolo in E dovrebbe essere ottuso, contro il fatto che l'angolo esterno del triangolo EAD, in A, è retto (PROP.16). Analogamente, non può essere DN=AM.
Quindi DN < AM, vale a dire CD < AB.

Ipotesi III.

In tal caso, AB < CD, altrimenti portando AM su DN il punto A finirebbe in un punto F alla sinistra di D e, nel quadrilatero, di base MN, MAFN , l'angolo MAF dovrebbe essere acuto (siamo nell'ipotesi degli angoli acuti), ma tale angolo è maggiore di un angolo retto!

Precisamente, il Saccheri stabilisce l'esistenza di due rette p e q, una alla sinistra e l'altra alla destra di C, che dividono il fascio di rette per C in due parti: quelle che intersecano AB e quelle che non la intersecano.
E' chiaro che la retta p non può intersecare AB, perchè se, ad esempio, la intersecasse nel punto P, prendendo un punto Q a sinistra di P, anche la retta QC la intersecherebbe, contro il fatto che è nella zona di non intersezione. Analogo discorso per q, sulla destra.
In più, la retta AB e una qualsiasi retta del fascio per C che appartiene alla zona di non intersezione hanno una perpendicolare comune.
Le rette p e q sono  dette  asintotiche alla retta AB, perchè si avvicinano sempre più a quest'ultima, senza mai intersecarla.
 

2. Il 5° postulato euclideo, che  si può leggere anche nella forma "se due rette non si incontrano allora la somma degli angoli dalla stessa parte è 2R"  è equivalente alla seguente affermazione P:

                                           Se due rette non si incontrano, allora gli angoli alterni interni formati da
                                           una trasversale sono di uguale misura.

Infatti, ammettendo il 5° postulato, se le rette non si incontrano la somma degli angoli dalla stessa parte è 2R e quindi gli angoli alterni interni devono essere uguali fra loro, vale a dire, segue P; viceversa, assumendo P, le due rette non si incontrano e la somma degli angoli dalla stessa parte è 2R (non minore di 2R), vale a dire segue il 5° postulato.

E', inoltre, equivalente alla prima ipotesi del Saccheri.

3. Conservare l'ordine dei punti e le operazioni relative rispetto a M e N, oppure conservare i riferimenti della formula, ma considerare il valore assoluto del logaritmo.
Per esempio, nel primo caso, la distanza tra B e A diventa:           la stessa della precedente (tra A e B).

4.

a. Infatti ln x, con x ≥ 1 (in base alla definizione di distanza), è maggiore o uguale a zero.

b. Segue subito dalla definizione di distanza.

c.  Si può costruire una figura interattiva con un software geometrico (Cabri) per verificare l'affermazione.

d. Infatti,  ln x tende all'infinito per x®∞.

 5. L'angolo tra due curve in un punto P è dato da quello delle rispettive tangenti alle curve in P.