1. Le rette di Saccheri (ipotesi III)

Sia p la retta di separazione tra le due parti, vale a dire le rette che intersecano la retta AB e quelle che non la intersecano (p si dice parallela ad AB; le rette, come d, che non incontrano AB si dicono, invece, ultraparallele).
Come si è visto, l'angolo APd è acuto.

Partendo  da A, pensiamo di spostare il punto verso sinistra, in modo che l'angolo in B, C, D,..., inizialmente retto, comincia a diminuire. Inizialmente l'angolo ABP è maggiore dell'angolo BPd, perchè quest'ultimo è acuto e partiamo con l'angolo in A retto; ma poi, continuando a diminuire, deve risultare, ad un certo punto, ADP minore di DPd, perchè la parte data dalll'angolo dPp non diminuisce. Di conseguenza deve esserci un punto Q tale che gli angoli AQP e QPd sono di uguale misura.

Per questo punto Q, consideriamo allora il punto medio M di QP e da questo punto M pensiamo di tracciare la perpendicolare MR alla retta AQ, che incontrerà la retta d nel punto S. Poichè, in tal caso, i due triangoli MRQ e MSP risultano isometrici, la retta MR deve essere perpendicolare anche alla retta d, nel punto S.

Dunque, la retta AQ e la retta d hanno una perpendicolare in comune, pur non incontrandosi e non essendo parallele; in altri termini, una retta
perpendicolare alla retta AP e un'altra ad essa obliqua hanno una perpendicolare comune.