1. Le rette di Saccheri (ipotesi III)
Sia p la retta di separazione tra le due
parti, vale a dire le rette che intersecano la retta AB e quelle che non
la intersecano (p si dice parallela ad AB;
le rette, come
d, che non incontrano AB si dicono, invece, ultraparallele).
Come si è visto,
l'angolo APd è acuto.
Partendo da A, pensiamo di spostare il
punto verso sinistra, in modo che l'angolo in B, C, D,..., inizialmente retto,
comincia a diminuire. Inizialmente
l'angolo ABP è maggiore dell'angolo BPd,
perchè quest'ultimo è acuto e partiamo con l'angolo in A retto; ma poi,
continuando a diminuire, deve risultare,
ad un certo punto, ADP minore di DPd,
perchè la parte data dalll'angolo dPp non diminuisce. Di conseguenza deve
esserci un punto Q tale che gli angoli
AQP e QPd sono di uguale misura.
Per questo punto Q, consideriamo allora il punto medio M di QP e da questo punto
M pensiamo di tracciare la perpendicolare MR alla retta AQ, che
incontrerà la
retta d nel punto S. Poichè, in tal caso, i due triangoli MRQ e MSP
risultano isometrici, la retta MR deve essere perpendicolare anche
alla retta
d, nel punto S.
Dunque, la retta AQ e la retta d hanno una perpendicolare in comune, pur
non incontrandosi e non essendo parallele; in altri termini, una retta
perpendicolare alla retta AP e un'altra ad essa obliqua hanno una perpendicolare
comune.