Studiamo i grafici delle funzioni polinomiali di 3° grado (cubiche):

I. Grafico della funzione  y = x³ - x + 2

Quando x è negativo, per valori che diventano sempre più piccoli (grandi in valore assoluto), per esempio, x = - 10,  x = -100, x = - 1000, ...
il valore di y risulta anch'esso sempre più piccolo ( y = -988, y=  -999898,  y = -999998998 , ...).
La curva quindi proviene dal basso a sinistra.

Quando x cresce, invece, da un certo punto in poi anche y continua a crescere.
La curva prosegue, quindi, in alto a destra.

Rimane da studiare il comportamento del grafico intorno all'origine degli assi cartesiani.

La derivata prima risulta  y ' = 3 x² - 1  e si azzera per    .

Studiando il segno di tale derivata (pendenza della retta tangente) negli intorni  di - 0.58  e  di + 0.58 si vede che che, nel primo caso, passa da positivo a negativo
( y'(-0.6)=0.08, y'(-0.5)=-0.25) mentre, nel secondo, da negativo a positivo (y'(0.5)=-0.25, y'(0.6)=0.08).
Si tratta quindi, rispettivamente, di un punto di massimo e di un punto di minimo della curva.

Anche il segno della derivata seconda y'' = 6x , negativo per x ≈ -0.58  e positivo per x≈  0.58, ci conferma che si tratta, rispettivamente, di un massimo (derivata prima decrescente) e di un minimo (derivata prima crescente).
Nel punto dove y'' = 0 (x = 0, in questo caso) si presenta un flesso, che determina un cambiamento di concavità della curva (verso il basso a sinistra, verso l'alto a destra).

La curva taglia l'asse y nel punto (0,2), determinato ponendo x = 0 nella funzione.
Per ricercare i punti di incontro con l'asse x possiamo osservare che, dovendo essere x³ - x + 2 = 0, deve anche essere  x³ = x - 2; vale a dire, gli zeri della funzione corrispondono alle ascisse dei punti di incontro tra i grafici y = x³  e   y = x - 2.

                                                                                                       

Un rapido schizzo dei due grafici mostra che essi si incontrano in un punto solo, ovvero la funzione in questione incontra l'asse x una volta sola, approssimativamente tra -1 e -2.

(Anche lo studio dei valori delle ordinate del massimo e del minimo, approssimativamente y(-0.58) = 2.38 e y(0.58) = 1.61, ci confermano che la cubica taglia l'asse x una volta sola).

Poiché, effettivamente, y(-1) = 2  e  y(-2) = -4, ovvero la funzione cambia segno tra questi due valori di x, possiamo attivare il metodo di bisezione e determinare così, per esempio a meno di 1/100, lo zero cercato: -1.52.

Il grafico è il seguente:

II.  Grafico della funzione  y = - x³ + x² + 6 x - 3

Questa volta la cubica proviene dall'alto a sinistra e prosegue in basso a destra.
Ancora sono presenti un minimo e un massimo e un punto di flesso: quali sono, precisamente, le loro coordinate?

In quale punto taglia l'asse x ?

Controllare la correttezza del seguente grafico:

III.  Grafico della funzione  y =  2x³ + x + 1

In questo caso non ci sono massimi o minimi, ma è sempre presente il flesso.

Verificare la correttezza del grafico seguente: