Il numero d'oro
 

Quanto deve essere la larghezza x di un rettangolo di lunghezza 1 per poter ritagliare un quadrato in modo che il rettangolo rimanente risulti simile al rettangolo dato?

 

 

 

 

 

 

Per la similitudine richiesta, deve valere la proporzione: 
                                                                           
                                                                   

da cui si ricava la seguente equazione di 2° grado nell'incognita  x          
                                                                                            
                                                                        

Si tratta quindi di determinare quel valore di x, se esiste, che soddisfa questa equazione.

Cominciamo col cercare qualche metodo per una soluzione approssimata.

I) Metodo del foglio elettronico

Come si vede dalla figura sopra riportata, si può iniziare, per esempio, a calcolare i valori del polinomio x2+x-1 per x intero che varia da 0 a 4 (nella cella A1 si può scrivere 0; nella A2, =A1+1; nella B1,  =A1^2+A1-1; poi si copiano le due formule nelle celle sottostanti).
Si
ottiene un cambiamento del segno del polinomio nel passaggio da 0 a 1 e si può quindi congetturare che la soluzione cercata sia compresa fra questi due valori della variabile x.

A questo punto si può "ingrandire" l'intervallo [0;1],esplorandolo con un passo di 0,5 e si vede che la soluzione deve essere compresa fra 0,5 e 1.

Applicando un procedimento analogo all'intervallo [0,5; 1], con passo 1/10, si migliora l'approssimazione osservando che la soluzione deve essere compresa fra 0,6 e 0,7.

Così proseguendo, esplorando l'intervallo [0,6; 0,7], con passo 1/100, si vede che  la soluzione deve essere compresa fra 0,61 e 0,62.

Infine, se ci si accontenta della terza cifra decimale, l'esplorazione dell'intervallo [0,61; 0,62], con passo 1/1000, ci indica che, a meno di 1/1000, la soluzione dell'equazione è 0,618.

I dati possono essere anche rappresentati graficamente, come mostra la figura seguente, ottenuta con il foglio elettronico:

 

II) Metodo del punto fisso

Osserviamo che si può scrivere 

Quindi, con una qualsiasi calcolatrice, si può provare a ripetere il seguente procedimento:
partire, per esempio, da 5, aggiungere 1  e fare il reciproco (tasto 1/x o x-1 ), considerare il numero ottenuto, aggiungere 1 e fare il reciproco ...
Esplorare la situazione, partendo anche da qualche altro numero.

In alcune calcolatrici avanzate è possibile operare come con il foglio elettronico.
Per esempio, con una TIV, scrivere la funzione in Y=  (oppure in HOME, come table x^2+x-1) , poi ,in TBLSET, porre TBLSTART uguale a 0 , con passo 0.1.

 

Aprendo TABLE si ottengono subito i valori numerici da esplorare:

 

III) Metodo dei grafici

L'equazione di partenza può riguardarsi scritta come  x2 = 1 - x, vale a dire, le sue eventuali soluzioni possono ricercarsi come intersezione delle due linee 
y = x2
  e    y = 1 - x.

 

Ovviamente, questo metodo grafico ci fornisce soprattutto delle indicazioni sull'esistenza e sui valori (grossolanamente approssimati) delle soluzioni.
In questo caso, si può osservare che, oltre alla soluzione compresa fra 0 e 1, ne esiste sicuramente un'altra fra -2 e -1.

IV) Metodo delle medie (o di bisezione)

Osservando che per x = 0 la funzione  y = x2 + x - 1 è negativa (vale -1) e per x = 1 è positiva (vale 1) possiamo ritenere che la soluzione sia compresa fra 0 e 1
(non prendiamo in considerazione l'altra soluzione, fra -2 e -1, perché il valore di x che cerchiamo deve essere positivo).

Ci avviciniamo alla soluzione calcolando la media fra 0 e 1, ovvero 0,5.
Possiamo ripetere il calcolo per migliorare l'approssimazione, ma prima dobbiamo rilevare  il segno della funzione per x = 0,5.
Poichè risulta y(0,5) = 0,52 + 0,5 - 1 = - 0,25 la funzione è negativa, quindi ripetiamo il calcolo della media fra 0,5 e 1
(la soluzione deve essere fra questi due valori di x).
Risulta (0,5+1)/2 = 0,75  e  y(0,75) = 0,752 +0,75 -1 = 0,3125 > 0, per cui questa volta la media, calcolata tra 0,5 e 0,75, ci fornisce  x = 0,625.
Così continuando di può ritrovare, a meno di 1/000, il valore 0,618.
 

 

Il procedimento di calcolo può essere automatizzato con un opportuno programma all'elaboratore.

 

Il problema può anche essere risolto in modo esatto.