Metodo delle differenze costanti e metodo di induzione

1.  Qual è il massimo numero di punti di intersezione che si possono ottenere disegnando 40 rette nel piano?

     Considerare una, due, tre rette, ... e calcolare i punti di intersezione; si può formare la seguente tabella:

           n° rette                                         punti di intersezione

              1                                                            0
              2                                                            1
              3                                                            3
              4                                                            6
              5                                                           10
             ....                                                         ....
             ....                                                         ....

      Se si considerano adesso le successive differenze dei numeri della seconda colonna, si ottiene:

          0            1            3            6            10        ....

                1            2            3             4          ...

                       1             1            1          ...

 

e, come si vede, le seconde differenze sono costanti.
D'altra parte, considerando il polinomio di 2° grado  a x² + b x + c,  e ripetendo per esso il procedimento (sostituendo ad x i numeri 1, 2, 3, 4, 5, ...), si ottiene:

x                 1                2                3                4                5        ...

                a+b+c       4a+2b+c      9a+3b+c     16a+4b+c    25a+5b+c  ...

                        3a+b            5a+b           7a+b           9a+b          ...

                                  2a               2a               2a             ...

e, come si vede, anche qui le seconde differenze sono costanti.

Questo fatto suggerisce come cercare una legge che descriva il numero delle intersezioni, all'aumentare del numero delle rette.
Infatti, fissando l'attenzione sulla prima diagonale, si può pensare di scrivere il sistema

               

per ricavare i valori dei parametri  a, b, c .

Risulta 

               

e quindi la legge che cercata:

              

Sostituendo ad x il numero 40, otteniamo la soluzione del problema: 780 intersezioni.

 

2.  Metodo di induzione matematica

La formula ricavata per la risoluzione del problema precedente è stata congetturata, ma non dimostrata.
Come essere sicuri della sua validità in generale?

Fino a cinque rette si è constatato (contando proprio le intersezioni) che la formula è vera.

Se si riesce a dimostrare che, nel caso la formula sia vera per n rette allora risulta anche vera per n + 1 rette, il gioco è fatto.

Infatti, se è vera per 5 rette, lo sarà anche per 6, e così via.

Supponiamo che la formula sia vera per n rette. Pensiamo di aggiungere un'altra retta.
Le intersezioni diventano allora 

                                               

vale a dire, la formula è ancora la stessa.