Legge dei grandi numeri

1.  Consideriamo la distribuzione binomiale con r successi in n prove e la variabile casuale    ;   indichiamo con p la probabilità di successo e con q quella di insuccesso.

Ricordando che  E(r) = n p  e VAR(r) = n p q, calcoliamo  il valor medio e la varianza di Z:

               ,         .

2. Per la legge di Chebyshev possiamo scrivere:

Poiché    è massimo per  , possiamo anche scrivere:

Essendo anche     ,    segue, in definitiva,

che è la legge dei grandi numeri di G. Bernoulli, valida per ogni c e per ogni distribuzione binomiale.

3. Possiamo ritenere in generale che ci guidi ad una stima attendibile della probabilità di un evento il richiedere che la probabilità che la frequenza relativa dei successi si discosti dalla probabilità dell'evento per meno del 5% sia superiore al 95% ed effettuare di conseguenza il numero sufficiente di prove.

Applicando quanto detto in un generico esperimento:

c = 0,05,             e     quindi 

da cui si ricava  .

Dunque,si può progettare un programma che simula l'esperimento effettuando almeno 2000 prove per soddisfare la precedente richiesta di attendibilità del risultato.