Rette e piani nello spazio
 

Una retta r è perpendicolare a un piano p in in punto P se e solo se essa è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per P.
Tutte le altre rette di p  hanno una direzione perpendicolare a quella di r e si dicono ortogonali a r.

1.  Se la retta r è perpendicolare a due rette a, b del piano p, nel punto P, allora essa è perpendicolare a ogni altra retta t del piano p passante per P.

Traccia di dimostrazione

Sia  PA'=PA  e  PR = PS;  i due triangoli ARS e A'RS risultano allora  isometrici e quindi, in particolare, gli angoli in R sono uguali.
Di conseguenza anche i triangoli ART e A'RT sono isometrici, per cui AT = A'T.
Dunque ATP e A'TP sono anch'essi  isometrici e l'angolo in P deve essere di 90°.
 

2. Teorema delle tre perpendicolari

Con riferimento alla configurazione precedente, dove la retta r perpendicolare al piano p e la retta a passa per P, ogni retta c di p perpendicolare  alla retta a è anche perpendicolare al piano determinato da r e a.

Traccia di dimostrazione

Posto LH =HK, il triangolo ALK risulta isoscele per cui AH è perpendicolare a c e, per il punto 1, segue la tesi.
 

3. Nello spazio, rette parallele sono complanari; rette che non sono parallele, né incidenti, si dicono sghembe.

4. Una retta e un piano che non hanno punti in comune, oppure tali che la retta appartiene al piano, si dicono paralleli.

5. Considerate uno spigolo di un cubo e i piani individuati dalle sue sei facce. Quanti e quali di tali piani sono perpendicolari allo spigolo considerato?
Quanti e quali sono paralleli a tale spigolo?

6. Due piani sono fra loro perpendicolari se uno contiene una retta perpendicolare all'altro.
Il piano a , in figura, è perpendicolare al piano p .

Due piani sono sempre secanti (in una retta) oppure sono paralleli (non hanno punti in comune o sono coincidenti).

7. L'angolo fra una retta p e un piano s (vedi figura) è quello fra la retta p e la retta p' intersezione con s del piano passante per p e perpendicolare a s (e quindi passante anche per la perpendicolare r).

8. L'angolo fra due piani incidenti  a e b (angolo diedro) si può misurare tra le rette determinate dalle sezioni di un piano p perpendicolare alla retta r intersezione
di a e  b.

Quanti diedri ha un cubo?

9. Un angoloide è la parte di spazio limitata dai diedri definiti da tre (triedro) o più semirette con la stessa origine e non appartenenti allo stesso piano.
Un cubo, per esempio, determina 12 diedri e 4 angoloidi (triedri).
Quali sono le simmetrie del cubo?

10.  Completate la seguente tabella: