Il teorema di Ruffini
 

I.  Consideriamo l'equazione  (x - 5)·(x + 8) = 0. Poiché il prodotto è nullo deve essere nullo almeno uno dei due fattori: si capisce subito, così, che l'equazione ha due soluzioni,
precisamente x = 5 e x = -8.
Se moltiplichiamo i due fattori otteniamo l'equazione sotto la forma  x2 + 3·x - 40 = 0 e, ovviamente, i due numeri appena trovati sono ancora soluzioni dell'equazione.
Possiamo notare che entrambi i numeri dividono 40, perché 40 è il loro prodotto.

Consideriamo ora l'equazione (3·x - 2)·(x + 7) = 0, ovvero, in altra forma,  3·x2 + 19·x - 14.
In questo caso le soluzioni sono -7 (che azzera la seconda parentesi) e 2/3, che azzera la prima.
Osserviamo che 7 deve dividere 14 (che proviene dal prodotto 7·2), mentre 2/3 è una frazione il cui denominatore deve dividere 3 e il numeratore deve dividere 14.

Facciamo un altro passo avanti e consideriamo l'equazione (4·x - 5)·(3·x + 2) = 0, che, sviluppata, diventa  12·x2 - 7·x - 10 = 0.
In questo caso una soluzione è 5/4, dove 4 divide 12 e 5 divide 10, mentre l'altra è -2/3, dove 3 divide 12 e 2 divide 10 (infatti 2·5 = 10).

Proviamo ad aumentare il numero di parentesi, considerando l'equazione (3·x - 2)·(5·x + 4)·(x - 17) = 0, vale a dire,  15·x3 - 253·x2 - 42·x + 136 = 0.
Guardando la prima forma individuiamo rapidamente le soluzioni: 2/3, -4/5, 17.
Anche qui, poiché questi numeri devono azzerare le parentesi, possiamo dedurre che 3, 5 devono dividere 15, mentre 2, 4, 17 devono dividere 136.
Poiché 17 si può anche riguardare anch'esso come frazione 17/1, possiamo allora congetturare una regola generale:

se un'equazione del tipo an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0, dove i coefficienti ai sono numeri interi, ha come soluzione la frazione n/m allora n è un numero (intero) che divide a0 (termine noto), mentre m è un numero (intero) che divide an (coefficiente del monomio di grado massimo).

La congettura può essere dimostrata.

Come conseguenza di questa regola, per esempio, una soluzione razionale dell'equazione 3·x3 + x2 - 22·x - 24 = 0 è da ricercarsi fra i numeri ±1, ±2,  ±3, ±4,  ±6, ±8, ±12,  ±24, ±1/3,  ±2/3, ±4/3,  ±8/3.
Se nessuno dei numeri precedenti azzera il polinomio 3·x3 + x2 - 22·x - 24 allora possiamo concludere che l'equazione non ha soluzioni di questo tipo.
In questo caso troviamo le soluzioni  -2, 3, -4/3  (dette anche zeri del polinomio o radici dell'equazione), per cui l'equazione data si può anche scrivere sotto la forma (x - 3)·(x + 2)·(3·x + 4) = 0.

II.  Consideriamo il polinomio P(x) = 5x3 - 2x2 + x + 2 e sostituiamo alla variabile x un numero intero qualsiasi, per esempio, 4.
Calcoliamo il valore che assume il polinomio, P(4) = 294.
Effettuando la divisione tra il polinomio P(x) e  il binomio x-4  si ottiene un quoziente Q(x) = 5x2 + 18 x + 73 e un resto  R  che è proprio uguale a 294.

Possiamo anche scrivere           
                                              

dove P(x) è il dividendo, D(x) = x-4 il divisore, Q(x) il quoziente e R = 294 il resto della divisione.

Proviamo con un altro polinomio.
Consideriamo P(x) = -x4+3x2-6x+8 e sostituiamo a x il numero 2.
Risulta P(2) = -8 e, dividendo P(x) per  x-2, si ottiene

                                                             

vale a dire, Q(x) = -x3-2x2-x-8  e  R = -8.

Proviamo ora a sostituire  il numero razionale -2/3.
Risulta P(-2/3) = 1064/81 e, dividendo P(x) per il binomio  3x+2 (che si annulla per x=-2/3) si ottiene

                                            

vale a dire,  Q(x) = -x3/3 + 2x2/9 +23x/27-208/81  e R = 1064/81.  
Allo stesso resto si giunge dividendo P(x) per x + 2/3 (che si annulla anch'esso per x =-2/3).                                             

Provate a fare altre prove: si può congetturare che se P(a) = k allora k è il resto della divisione tra P(x) e x-a ?

La congettura può essere dimostrata e prende il nome di teorema di Ruffini.

Come conseguenza, se a è uno zero del polinomio P(x), vale a dire, P(a) = 0, allora P(x) è divisibile per il binomio x - a.

Per esempio, posto P(x) = x3 - 1, P(1) = 0 e dividendo x3 - 1 per x - 1 si trova

                                       

ovvero

                                     

 

con R = 0.

                               
 

III. Come si è visto, la prima domanda del problema può trovare subito risposta determinando in modo preciso le soluzioni dell'equazione
 
                                                             4 x3 -160 x2 + 1500 x - 3000 = 0.

Vediamo ora di risolvere questa equazione con il teorema di Ruffini, senza utilizzare il calcolatore.
Se ci sono soluzioni razionali esse, come si è visto, vanno ricercate fra le frazioni che hanno a numeratore un divisore di 3000 e a denominatore un divisore di 4.
Tra queste, come si può verificare,10 soddisfa l'equazione.

Dividiamo allora il polinomio 4 x3 -160 x2 + 1500 x - 3000 per x - 10, al fine di abbassarne il grado (come sappiamo, per il teorema di Ruffini, il resto della divisione deve essere zero). Risulta:

                        

L'equazione di 2° grado  4x2-120x+300 = 0 può essere risolta subito applicando la formula risolutiva e si trovano così le altre due soluzioni:

                                   

che corrispondono ai risultati dati dal calcolatore nel livello precedente.

La risposta alla prima domanda del problema, sempre tenendo conto del grafico della funzione, è quella già data.

 

IV.  Se le soluzioni di un'equazione non sono numeri razionali (seconda domanda del problema) il teorema di Ruffini non è di aiuto: si può allora cercare una soluzione, anche senza calcolatore, utilizzando il metodo di bisezione.