Il teorema di
Ruffini
I. Consideriamo
l'equazione (x - 5)·(x + 8) = 0.
Poiché il prodotto è nullo deve essere nullo almeno uno dei due fattori: si
capisce subito, così, che l'equazione ha due soluzioni,
precisamente x = 5 e x =
-8.
Se moltiplichiamo i due fattori otteniamo l'equazione sotto la forma x2
+ 3·x - 40 = 0 e, ovviamente, i due numeri appena trovati
sono ancora soluzioni
dell'equazione.
Possiamo notare che entrambi i numeri dividono 40, perché 40 è il loro prodotto.
Consideriamo ora l'equazione
(3·x - 2)·(x + 7) = 0, ovvero, in altra forma, 3·x2 + 19·x -
14.
In questo caso le soluzioni sono -7 (che azzera la seconda parentesi) e 2/3, che
azzera la prima.
Osserviamo che 7 deve dividere 14 (che proviene dal prodotto 7·2),
mentre 2/3 è una frazione il cui denominatore deve dividere 3
e il numeratore deve dividere
14.
Facciamo un altro passo avanti
e consideriamo l'equazione (4·x - 5)·(3·x + 2) = 0, che, sviluppata, diventa
12·x2 - 7·x - 10 = 0.
In questo caso una soluzione è 5/4, dove 4 divide 12 e 5 divide 10, mentre
l'altra è -2/3, dove 3 divide 12 e 2 divide 10 (infatti 2·5
= 10).
Proviamo ad aumentare il
numero di parentesi, considerando l'equazione (3·x - 2)·(5·x + 4)·(x - 17) = 0,
vale a dire,
15·x3 - 253·x2 - 42·x + 136 = 0.
Guardando la prima forma individuiamo rapidamente le soluzioni: 2/3, -4/5, 17.
Anche qui, poiché questi numeri devono azzerare le parentesi, possiamo dedurre
che 3, 5 devono dividere 15, mentre 2, 4, 17 devono
dividere 136.
Poiché 17 si può anche riguardare anch'esso come frazione 17/1, possiamo allora
congetturare una regola generale:
se un'equazione del tipo an xn + an-1 xn-1
+ ... + a1 x + a0 = 0, dove i coefficienti ai
sono numeri interi, ha come soluzione la
frazione n/m
allora n è un numero (intero) che divide a0
(termine noto), mentre m è un numero (intero) che divide an
(coefficiente del monomio di
grado massimo).
La congettura può essere dimostrata.
Come
conseguenza di questa regola, per esempio, una soluzione razionale
dell'equazione
3·x3 + x2 - 22·x - 24 = 0
è da ricercarsi fra i numeri
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24, ±1/3, ±2/3, ±4/3,
±8/3.
Se nessuno dei numeri precedenti azzera il polinomio 3·x3 + x2
- 22·x - 24 allora possiamo concludere che l'equazione non ha soluzioni
di
questo tipo.
In questo caso troviamo le soluzioni -2, 3, -4/3 (dette anche
zeri del polinomio o radici dell'equazione), per cui l'equazione data
si può
anche scrivere sotto la forma (x - 3)·(x + 2)·(3·x + 4) = 0.
II.
Consideriamo il polinomio P(x) = 5x3 - 2x2 + x + 2 e
sostituiamo alla variabile x un numero intero qualsiasi, per esempio, 4.
Calcoliamo il valore che assume il polinomio, P(4) = 294.
Effettuando la divisione tra il polinomio P(x) e il binomio x-4 si
ottiene un quoziente Q(x) = 5x2 + 18 x + 73
e un resto R che è proprio uguale a 294.
Possiamo anche
scrivere
dove P(x) è il dividendo, D(x) = x-4 il divisore, Q(x) il quoziente e R = 294 il resto della divisione.
Proviamo con un
altro polinomio.
Consideriamo P(x) = -x4+3x2-6x+8 e sostituiamo a x il
numero 2.
Risulta P(2) = -8 e, dividendo P(x) per x-2, si ottiene
vale a dire, Q(x) = -x3-2x2-x-8 e R = -8.
Proviamo ora a
sostituire il numero razionale -2/3.
Risulta P(-2/3) = 1064/81 e, dividendo P(x) per il binomio 3x+2 (che si
annulla per x=-2/3) si ottiene
vale a dire, Q(x) = -x3/3
+ 2x2/9 +23x/27-208/81 e R = 1064/81.
Allo stesso resto si giunge dividendo P(x) per x + 2/3 (che si annulla anch'esso
per x =-2/3).
Provate a fare altre prove: si può congetturare che se P(a) = k allora k è il resto della divisione tra P(x) e x-a ?
La congettura può essere dimostrata e prende il nome di teorema di Ruffini.
Come conseguenza, se a è uno zero del polinomio P(x), vale a dire, P(a) = 0, allora P(x) è divisibile per il binomio x - a.
Per esempio, posto P(x) = x3 - 1, P(1) = 0 e dividendo x3 - 1 per x - 1 si trova
ovvero
con R = 0.
III.
Come si è visto, la prima domanda del problema può trovare subito risposta
determinando in modo preciso le soluzioni dell'equazione
4 x3 -160 x2
+ 1500 x - 3000 = 0.
Vediamo ora di risolvere questa equazione con il teorema di Ruffini, senza
utilizzare il calcolatore.
Se ci sono soluzioni razionali esse, come si è visto, vanno ricercate fra le
frazioni che hanno a numeratore un divisore di 3000 e a denominatore
un divisore
di 4.
Tra queste, come si può verificare,10 soddisfa l'equazione.
Dividiamo allora il polinomio 4 x3 -160 x2 + 1500 x - 3000 per x - 10, al fine di abbassarne il grado (come sappiamo, per il teorema di Ruffini, il resto della divisione deve essere zero). Risulta:
L'equazione di 2° grado 4x2-120x+300 = 0 può essere risolta subito applicando la formula risolutiva e si trovano così le altre due soluzioni:
che corrispondono ai risultati dati dal calcolatore nel livello precedente.
La risposta alla prima domanda del problema, sempre tenendo conto del grafico della funzione, è quella già data.
IV. Se le soluzioni di un'equazione non sono numeri razionali (seconda domanda del problema) il teorema di Ruffini non è di aiuto: si può allora cercare una soluzione, anche senza calcolatore, utilizzando il metodo di bisezione.