Prodotto scalare di due vettori

Supponiamo che una forza F  agisca su un corpo come in figura, facendolo muovere, in modo rettilineo lungo una scanalatura, per uno spostamento s.

Solo la componente orizzontale Fx del vettore della forza produce lavoro e tale componente, se  a  è l'angolo che F forma con la direzione dello spostamento, è data da  F cos(a),  dove F è il modulo di F.

Il lavoro risulta quindi  misurato da   L = F s cos(a).

Considerati due qualsiasi vettori

                             e           ,

formanti fra loro un angolo a ,  il prodotto   v1 v2 cos(a), dove v1 e v2 sono i moduli dei vettori, è un numero che si dice prodotto scalare dei due vettori e si indica con 

                                                       .

Il prodotto scalare si può anche esprimere utilizzando le componenti dei vettori, tenendo presenti le formule di addizione degli archi. Infatti:

Poiché due vettori risultano tra loro perpendicolari se formano un angolo a di 90°, essendo in tal caso  cos (a)  = 0  risulta che il loro prodotto scalare deve essere uguale a zero.

Inoltre, poiché  

è anche semplice calcolare la misura dell'angolo tra due qualsiasi vettori.  Per esempio, se 

                        e        

risulta:

da cui

                         radianti,

circa 78°.

La verifica può essere effettuata con CABRI.

Considerate per esempio le due rette tra loro perpendicolari di equazioni
                                     
                                                                                                 

le loro direzioni sono rappresentate dalle componenti dei  vettori 

                                                                                                

e il prodotto scalare, come ci si aspetta, è 1·3 + 3·(-1) = 0.

D'altra parte, considerate due generiche rette per l'origine delle coordinate   y = h x   e   y = k x, poiché le loro direzioni sono rappresentate dalle componenti dei vettori

                                         ,

dal prodotto scalare  1 + h · k = 0   risulta subito la condizione di perpendicolarità 

                                         .

Per due rette parallele risulta  h = k , vale a dire