Inversione circolare
 

I) Un'inversione circolare nel piano è una trasformazione definita da una circonferenza I e dal suo centro O, in modo che, se P è un qualsiasi punto diverso da O, la sua immagine P'  è quel punto, allineato con O e P,tale che  OP · OP' = r² , dove r è il raggio della circonferenza.

Utilizzando un software geometrico verificate che nella trasformazione in questione valgono le seguenti proprietà:

a) non si conserva l'allineamento dei punti;
b) esistono rette e circonferenze unite;
c) una circonferenza per O si trasforma in una retta non passante per O e viceversa;
d) una circonferenza non passante per O si trasforma in una circonferenza non passante per O;
e) gli angoli sono conservati.

Inoltre:

f) considerando su una circonferenza C ortogonale a I (C risulta unita nella trasformazione) un punto P, esiste, per questo punto, un'altra circonferenza ortogonale sia a I che a C.

II)  Dimostrate che, con una scelta opportuna degli assi cartesiani, la rappresentazione analitica dell'inversione rispetto ad una circonferenza di raggio r è data da:

III) Dimostrate analiticamente che una circonferenza per O si trasforma in una retta.

IV) Considerate le due rette y = 1/2  e  y = x + 1/2, determinare:

     a. Il loro punto di incontro P;

     b. L'immagine P' di P nell'inversione rispetto alla circonferenza di raggio 1 e centro O(0;0);

     c. L'angolo tra le rette in P;

     d. Le equazioni delle due circonferenze rispettivamente trasformate nell'inversione suddetta (immagini delle rette);

Verificate che l'angolo in P' tra le due circonferenze è invariato.