Studio dell'ellisse
1. Un'ellisse è un insieme di punti del piano tali che la somma delle loro distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
Nella figura dinamica seguente, la somma delle distanze del punto P dai due estremi A e B del segmento, al variare di P, rimane costante (la lunghezza del segmento); tali distanze sono trasportate a partire da F1 ed F2 (fuochi dell'ellisse) in modo da determinare i punti P1 e P2 che descrivono la curva, muovendo P sul segmento.
La figura si può costruire facilmente in Cabri o con un altro software.
Nella figura seguente sono rappresentati il punto P(x;y) sull'ellisse, i due fuochi F1(f;0) e F2(-f;0) dell'ellisse, dove f è un numero reale positivo, e la curva in questione, descritta da P.
Posti gli assi cartesiani come in figura, quando P è sull'asse y si origina un triangolo isoscele del quale indichiamo la misura dei lati obliqui, per esempio, con a; l'invarianza della somma delle distanze è resa allora, in generale, dall'equazione:
Elevando al quadrato per eliminare i radicali e semplificando, si arriva all'equazione seguente:
Indicando con b2 la differenza a2-f2 e dividendo per a2b2 si ottiene, in definitiva:
che è l'equazione cercata (equazione normale dell'ellisse)
Il punto medio tra i fuochi è il centro dell'ellisse: nell'equazione ottenuta il centro è l'origine delle coordinate; tale ellisse ha semiasse maggiore a, semiasse minore b e semidistanza focale
, con b < a.
Inoltre, sono considerati assi principali le rette congiungente i fuochi (asse maggiore) e quella passante per il centro e perpendicolare alla precedente (asse minore).
Si dice eccentricità di un'ellisse il rapporto:
,
che risulta sempre minore di 1.
Maggiore è l'eccentricità, più l'ellisse risulta schiacciata, ovvero la forma è meno circolare; se è zero, allora a = b e si ritrova la circonferenza (i due fuochi coincidono nel centro).
Quale equazione si sarebbe ottenuta ponendo i fuochi sull'asse y ?