Distribuzioni congiunte e marginali
1. Nella tabella seguente sono riportati le medie dei voti (arrotondate ai decimi) risultanti allo scrutinio finale e i punteggi ottenuti all'esame di stato da parte degli allievi dell'ultima classe di un liceo scientifico:
media | esame | media | esame |
6 | 70 | 6,4 | 75 |
6,4 | 80 | 8,2 | 100 |
8,4 | 98 | 6 | 70 |
6,5 | 83 | 7,6 | 84 |
6,2 | 73 | 6,1 | 70 |
6,7 | 81 | 7 | 83 |
6,1 | 66 | 5,2 | 65 |
6,8 | 80 | 4,5 | 61 |
7,2 | 79 | 7,5 | 82 |
6,3 | 68 | 7,8 | 95 |
6,1 | 65 | 8,7 | 100 |
Controllate la suddivisione degli studenti in classi di media voti e di punteggio esame, come mostrato dalla seguente tabella a doppia entrata (ogni intervallo comprende l'estremo superiore):
m\ e | 60 - 70 | 70 - 80 | 80 - 90 | 90 - 100 | TOTALI |
4 -5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
5 - 6 | 3 | 0 | 0 | 0 | 3 |
6 - 7 | 4 | 4 | 3 | 0 | 11 |
7 - 8 | 0 | 1 | 2 | 1 | 4 |
8 - 9 | 0 | 0 | 0 | 3 | 3 |
TOTALI | 8 | 5 | 5 | 4 | 22 |
Dividendo i dati per 22 (totale degli studenti), si ottiene la tabella di distribuzione congiunta delle probabilità:
m \ e | 60 - 70 | 70 - 80 | 80 - 90 | 90 - 100 | TOTALI |
4 - 5 | 1/22 | 0 | 0 | 0 | 1/22 |
5 - 6 | 3/22 | 0 | 0 | 0 | 3/22 |
6 - 7 | 4/22 | 4/22 | 3/22 | 0 | 11/22 |
7 - 8 | 0 | 1/22 | 2/22 | 1/22 | 4/22 |
8 - 9 | 0 | 0 | 0 | 3/22 | 3/22 |
TOTALI | 8/22 | 5/22 | 5/22 | 4/22 | 1 |
Le distribuzioni marginali relative ai voti dello scrutinio e a quelli dell'esame di Stato sono date, rispettivamente dai valori (in corsivo) della colonna e della riga finali.
In base a tali premesse, scegliendo come
rappresentante di ogni classe il valore centrale dell'intervallo, si
possono calcolare i valori attesi delle medie dei voti (m) e quelli
dei punteggi finali dell'esame (e).
Verificate i calcoli seguenti:
Le varianze:
da cui le corrispondenti deviazioni standard:
s (m) = §(0,995) ≈ 0,997
s (e) = §(126,7) ≈ 11,256
e la covarianza:
Questi valori forniscono importanti informazioni sulle distribuzioni e, tra l'altro, risultano impiegati per misurare la correlazione tra le variabili (nel nostro caso, tra le medie e i punteggi).