Distribuzioni congiunte e marginali
 

1. Nella tabella seguente sono riportati le medie dei voti (arrotondate ai decimi) risultanti allo scrutinio finale e i punteggi ottenuti all'esame di stato da parte degli allievi dell'ultima classe di un liceo scientifico:

media esame media esame
6 70 6,4 75
6,4 80 8,2 100
8,4 98 6 70
6,5 83 7,6 84
6,2 73 6,1 70
6,7 81 7 83
6,1 66 5,2 65
6,8 80 4,5 61
7,2 79 7,5 82
6,3 68 7,8 95
6,1 65 8,7 100

Controllate la suddivisione degli studenti in classi di media voti e di punteggio esame, come mostrato dalla seguente tabella a doppia entrata (ogni intervallo comprende l'estremo superiore):

    m\ e 60 - 70  70 - 80  80 - 90 90 - 100 TOTALI
4 -5 1 0 0 0 1
5 - 6 3 0 0 0 3
6 - 7 4 4 3 0 11
7 - 8 0 1 2 1 4
 8 - 9 0 0 0 3 3
TOTALI 8 5 5 4 22

Dividendo i dati per 22 (totale degli studenti), si ottiene la tabella di distribuzione congiunta delle probabilità:

    m \ e 60 - 70  70 - 80  80 - 90 90 - 100 TOTALI
4 - 5 1/22 0 0 0 1/22
5 - 6 3/22 0 0 0 3/22
6 - 7 4/22 4/22 3/22 0 11/22
7 - 8 0 1/22 2/22 1/22 4/22
 8 - 9 0 0 0 3/22 3/22
TOTALI 8/22 5/22 5/22 4/22 1

Le distribuzioni marginali relative ai voti dello scrutinio e a quelli dell'esame di Stato sono date, rispettivamente dai valori (in corsivo) della colonna e della riga finali.

In base a tali premesse, scegliendo come rappresentante di ogni classe il valore centrale dell'intervallo, si possono calcolare i valori attesi delle medie dei voti (m) e quelli dei punteggi finali dell'esame (e).
Verificate i calcoli seguenti:

Le varianze:

da cui le corrispondenti deviazioni standard:

s (m) = §(0,995) ≈ 0,997

s (e) = §(126,7) ≈ 11,256

e la covarianza:

Questi valori forniscono importanti informazioni sulle distribuzioni e, tra l'altro, risultano impiegati per misurare la correlazione tra le variabili (nel nostro caso, tra le medie e i punteggi).