Trasformazioni lineari e matrici
1. In coordinate cartesiane possiamo riguardare, nel piano, il punto (x ,y)
come rappresentante del vettore
e indicarlo anche con la notazione
, mettendo così in risalto la sua
rappresentazione sotto forma di matrice
e ricordando il legame esistente con il vettore.
Considerando i punti quali rappresentanti di vettori, possiamo operare internamente con l'operazione di somma e esternamente con quella di moltiplicazione per uno scalare (qualsiasi numero reale), nel modo seguente:
I.
(somma di vettori)
II.
(variazione della lunghezza del vettore)
Ora, se f è una qualsiasi trasformazione lineare
(rotazione, simmetria,omotetia, stiramento, ...), ovvero, di matrice
,
con ad - bc
¹ 0, è immediato verificare
che valgono le tre proprietà seguenti:
Ne risulta subito:
che corrisponde all'ordinaria moltiplicazione righe per colonne
2. Un punto importante è chiarire perché componendo due trasformazioni lineari,
una di seguito all'altra, la trasformazione
risultante ha per matrice il prodotto (righe per colonne) delle matrici delle
due trasformazioni in questione.
Per esempio, effettuando la riflessione rispetto all'asse x e
successivamente quella rispetto all'asse y si ottiene la simmetria
centrale di matrice 
, prodotto delle due
corrispondenti matrici di riflessione 
e
.
Infatti, in generale, indicando con f e g due
trasformazioni lineari, rispettivamente di matrici
e
,
calcoliamo l'effetto della loro composizione
sul punto
. Risulta:
corrispondente proprio all'effetto sul punto della matrice prodotto delle due matrici suddette, come potete rapidamente verificare:
3. Il determinante della matrice della
trasformazione prodotto (composizione delle due trasformazioni date) è
uguale al prodotto
dei determinanti delle matrici fattori.
Infatti:
,
e, svolgendo i calcoli, si trova subito
.