Equazioni parametriche della retta

Focalizzando l'attenzione separatamente sui rapporti  tra le ascisse e tra le ordinate, anziché sul concetto di pendenza, si può scrivere, al variare di P sulla retta AB, come mostra la figura dinamica precedente (per la similitudine dei triangoli):

dove t è una costante, vale a dire:

Questo è un altro modo per rappresentare una retta nel piano, ovvero le ascisse e le ordinate dei suoi punti in funzione di un parametro t e delle coordinate di due punti fissi che la individuano (equazioni parametriche).

E' da osservare che, variando t tra 0 e 1, si ottengono i punti tra A e B (possiamo in tal modo generare i punti di un segmento).
 

Vediamo qualche applicazione di queste equazioni, confrontandole con quelle cartesiane.

1.  A distanza di 8 metri da un muro una scala AB viene appoggiata
alla sommità B di un palazzo alto 15 metri.
Quando si è saliti per 3/5 della lunghezza della scala, quanto si è                                 
alti da terra?

Ponendo il sistema di riferimento con gli assi x e y centrati in A,
le equazioni parametriche della retta AB risultano:

              x = 0 + 8 t
              y = 0 + 15 t

e, per t = 3/5, si ha subito y = 9 metri.

Ritrovate il risultato tramite le proporzioni sui lati dei triangoli simili.

2.  Rette parallele

Data la retta di equazioni

                                    x = x₁ + t (x₂ - x₁)
                                    y = y₁ + t (y₂ - y₁)

la parallela ad essa, passante per il punto (x₀, y₀),  ha equazioni

                                     x = x₀ + t (x₂ - x₁)
                                     y = y₀ + t (y₂ - y₁)

Infatti
                                    x - x₀ =  t (x₂ - x₁)
                                    y - y₀ =  t (y₂ - y₁)

e, dividendo membro a membro,

il che significa proprio che le due rette hanno la stessa pendenza.

3. Rette perpendicolari
 

Sempre con riferimento alla retta

                                     x = x₁ + t (x₂ - x₁)
                                     y = y₁ + t (y₂ - y₁)

la sua perpendicolare passante per il punto (x₀, y₀) ha equazioni

                                     x = x₀ + t (y₂ - y₁)
                                     y = y₀ - t (x₂ - x₁)

 infatti in questo caso, dividendo membro a membro, si ottiene

da cui si deduce proprio quanto affermato, essendo  
                                                                                                                           

dove m è la pendenza della retta data.

Le affermazioni precedenti possono essere  facilmente e rapidamente verificate al calcolatore.