Coordinate polari
 

1. Ci sono altri modi, oltre le coordinate cartesiane (o rettangolari), per individuare un punto nel piano (o nello spazio).
Per esempio, il radar di un aereo o di una nave permette di determinare la posizione di un ostacolo P sulla base della distanza  r  e dell'angolo q  formato dalla semiretta OP (che ruota intorno a O esplorando lo spazio circostante) e dall'asse p.

Precisamente, un punto P(x,y) del piano cartesiano può essere determinato conoscendo la sua distanza dall'origine O e l'angolo, positivo in senso antiorario, che l'asse x forma con la retta OP.
In questo diverso sistema di coordinate (dette polari) r è il raggio vettore e q   è l'anomalia o  angolo polare: l'asse x e il punto O  prendono, rispettivamente, i nomi di asse polare e polo.

Le coordinate polari e quelle cartesiane sono in relazione tra loro tramite le seguenti formule:

dove, ovviamente, nell'ultima, q  può essere determinato tenendo conto dei segni delle coordinate x e y.

Queste coordinate sono state pubblicate, la prima volta, da Jakob Bernoulli.

2.  Le coordinate polari di un punto non sono uniche.
Per esempio, il punto, in coordinate cartesiane, (0,1), può essere descritto da una qualsiasi delle coppie seguenti, in coordinate polari (interpretando r < 0 nel verso opposto a quello di r, positivo, misurato sul lato dell'angolo q ) :

Consideriamo la retta di equazione

                                                          y = 3 x - 2

che, in coordinate polari, diventa

Disegnandola con il sistema Derive, con valori di  q  compresi fra 0 e 1 (radianti), si ricava il grafico:

osserviamo che specificando l'intervallo dell'angolo tra 0 e 1.5 e disegnando per punti, otteniamo

che mostra chiaramente come i punti nel III° quadrante vengano ottenuti per  r < 0.