Calcolo di  p

Consideriamo una circonferenza di raggio r e un esagono in essa iscritto.
Il perimetro dell'esagono iscritto, di lato l(1) = r, costituisce un'approssimazione, piuttosto grossolana, della lunghezza della circonferenza; possiamo però migliorare tale approssimazione raddoppiando il numero dei lati del poligono iscritto, considerando, cioè, un dodecagono, di lato l(2) in figura, e così via.

Non è difficile trovare la relazione fra i lati l(1) e l(2), vale a dire tra i lati di un poligono e quelli del successivo (con un numero doppio di lati).
Infatti, applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC (angolo retto in C) si ottiene successivamente:

l²(2) = (l(1)/2)² + (l(1) - √((l²(1)-(l(1)/2)²))²) = 2 l²(1) - l²(1) √(3)

l²(3) = (l(2)/2)² + (l(1) - √((l²(1)-(l(2)/2)²))² ) = 

                = 2 l²(1) - l(1) √((4 l²(1) - l²(2)))

l²(4) = (l(3)/2)² + (l(1) - √((l²(1)-(l(3)/2)²))² ) = 

               =  2 l²(1) - l(1) √((4 l²(1) - l²(3)))

e così via.

In generale, può essere congetturata l'uguaglianza seguente fra la misura di un lato l(n) e il successivo l(n+1):

l²(n+1) = 2 l²(1) - l(1) √((4 l²(1) - l²(n)))

E' conveniente fare eseguire questi calcoli ripetitivi da un elaboratore, ma occorre non considerare un numero troppo grande di lati del poligono perché la formula trovata si basa sulla differenza di due numeri quasi uguali.

E' da osservare che si possono contenere gli errori di approssimazione dovuti alla macchina, pensando di operare con un numero alto di lati, cambiando la forma della formula. Si può scrivere infatti:

trasformando, di fatto, una sottrazione in un'addizione.

Le due formule sono equivalenti dal punto di vista algebrico, ma, come si è detto, non da quello del calcolo numerico.

Riportiamo le prime 38 cifre di p:     3,14159265358979323846264338327950288419 ...
(con i moderni elaboratori e nuovi algoritmi di calcolo si possono già calcolare alcuni miliardi di cifre decimali in meno di un'ora).