Nel seguito riportiamo alcune applicazioni delle formule di addizione degli archi.
 

Pentagono e numero d'oro

I calcoli seguenti, effettuati col software Derive, illustrano un procedimento per determinare cos(36°) e quindi utilizzano questo risultato per verificare che il rapporto lato/diagonale (DC / DB in figura) del pentagono regolare è il numero d'oro.
Seguite il ragionamento e provate, inoltre, a ritrovare manualmente i risultati.       

Decagono e numero d'oro

Consideriamo un decagono regolare, inscritto in una circonferenza di raggio 1 e indichiamo
con x la misura del suo lato; tracciamo poi la bisettrice dell'angolo in A e segniamo le misure
degli angoli che si vengono a formare (AB = AK = OK).
Per la similitudine dei triangoli OAB  e  KAB   possiamo scrivere  la proporzione

                                                                   1  :  x = x  : (1-x)

e quindi ricavare  x =  √(5)/2 - 1/2 » 0.618,  nuovamente il numero d'oro (si dice anche che il lato è la sezione aurea del raggio).

 Il rapporto tra la misura del lato e quella del raggio della circonferenza non cambia, ovviamente, al variare del raggio.

Tracciando ora la bisettrice dell'angolo in O (che è anche altezza)  del triangolo isoscele OAB    si può calcolare

                                          sin (18°)  =  x / 2

e quindi                   sin (36°) = 2 sin(18°) cos(18°) = √ (5/8 - √(5)/8)

da cui, ancora,         cos (36°) = √ (1 - sin²(36°)).