Equazioni parametriche delle coniche

1.  Circonferenza

La circonferenza con centro l'origine delle coordinate cartesiane e raggio r ha equazione  x² + y² = r² .

Tenendo conto della relazione goniometrica  fondamentale  cos² t +  sin² t  = 1, possiamo considerare le funzioni della variabile indipendente o parametro t:

                                                   x = r cos t      ,             y = r sin t

e ricavare così le equazioni parametriche di tale circonferenza, poiché   (r cos t)² + (r sin t)²  = r² .

Le due funzioni che definiscono la curva parametrica sono continue (avendo come codominio un insieme di punti formanti una curva senza alcuna interruzione) e sono calcolate su uno stesso intervallo di variabilità del parametro.

E' stata scelta la lettera  t per indicare il parametro perché nelle applicazioni esso rappresenta generalmente (ma non sempre) il tempo trascorso, come nel caso della traiettoria di un corpo in moto.

Per esempio,  la coppia

                                            x = 2 cos t             ,           y = 2 sin t

per t che varia nell'intervallo tra 0 e p  (0 £ t £ p), determina la semicirconferenza

dove il verso della freccia indica la direzione in cui il valore del parametro cresce (in questo caso l'angolo che il raggio OP forma con l'asse x).

                                                                                                

2.   Ellisse

Poiché l'equazione dell'ellisse in coordinate cartesiane è

possiamo porre

ovvero
                                   

3.  Parabola

Considerata l'equazione    y = ax² + bx +c, risulta semplicemente:

                                                                                             x = t
                                                                                             y = at² + bt + c

4. Iperbole

Essendo l'equazione                                                

e poiché
                                 

si può porre

ovvero
                                .

                                   .

5.  Software algebrico       

Su Derive,  per disegnare, ad esempio, l'ellisse di equazioni

                                                                                                      x = 3 cos t
                                                                                                      y = sin t

si scrive semplicemente [3 cos(t), sin(t)] e si imposta l'intervallo del parametro nella finestra di dialogo che appare.

Con una TIV occorre entrare nel modo (MODE) GRAPH FUNCTION PARAMETRIC   e  poi disegnarla tramite l'ambiente grafico Y= , scrivendo le funzioni, per esempio,  in xt1=  3 cos (t) ,  yt1= sin (t) e modificando opportunamente le scale in WINDOW.

Fate alcune prove con il software che avete a disposizione.