p  e la circonferenza

Disegnando con un software algebrico, per esempio CABRI, una qualsiasi circonferenza e poi riportando su di essa la misura del raggio a partire dal punto A (attivare trasporto di misura, segnare poi la circonferenza, il punto A iniziale, quindi la misura da riportare) si può notare che la misura del raggio sta sei volte sulla circonferenza, avanzando l'arco UA; dividendo in dieci parti la lunghezza del raggio e riportandone la misura a partire da U si vede che tale misura sta ancora
interamente due volte (punti R' e S'), ancora con un piccolo avanzo. Il raggio sta quindi approssimativamente 6,2 volte
nella circonferenza.
Ripetendo il procedimento sull'arco S'A si troverebbe la migliore approssimazione 6,28 e così via.

L'angolo AOB, con vertice in O, per il quale la misura dell'arco AB su cui insiste è uguale a quella del raggio r della circonferenza di centro O, misura 1 radiante.

L' applet seguente mostra, a meno delle approssimazioni del software, che il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro è, in effetti, costante e circa 3,14 (trascinare la circonferenza per variarne la lunghezza):

Questa costante viene indicata con la lettera greca p (PI GRECO, iniziale della parola periferia). Poiché C/(2r) = p, la lunghezza della circonferenza di raggio r risulta  2 p r.

Un angolo giro (360° sessagesimali) misura quindi 2p   radianti; quello di 180°,  p  radianti; quello di  90°, p /2 radianti.

Anche il rapporto A/r² , dove A è l'area del cerchio, si mantiene costante e uguale a p , come si può verificare, sempre a meno delle approssimazioni, tramite il software geometrico:

In definitiva, la lunghezza della circonferenza uguale a 2 p  r e  l'area del cerchio p  r², possono assumersi come due congetture fondamentali.