Riprendiamo il problema della fabbrica:
Una fabbrica produce due tipi di oggetti, A e B. Per programmare la produzione nel periodo antecedente alla chiusura per trasferimento in altra sede, si rileva che si hanno a disposizione 100 t di materiale e 1600 ore lavorative.
E' noto che per la produzione di un oggetto del tipo A occorrono 2 t di materiale e 50 ore lavorative, mentre per la produzione di uno del tipo B occorrono 3 t di materiale e 25 ore lavorative.
Il guadagno per ogni oggetto del tipo A ammonta a 120 €, mentre per ogni oggetto del tipo B a 140 €.
Quanti oggetti di tipo A e quanti di tipo B bisogna costruire, entro la chiusura, per realizzare il massimo guadagno?
1. Poiché al più 2x + 3y = 100, vale a dire 2x + 3y ≤ 100, se x = 23 deve risultare 46 + 3y ≤ 100, ovvero
Quindi, se x=23, con y=18 si utilizza tutto il materiale disponibile guadagnando il più possibile.
La disuguaglianza 46 + 3y ≤ 100, è, più precisamente, una disequazione di 1° grado nella variabile (o incognita) y.
Se il punto rimane sotto la retta y = 18, la disequazione è soddisfatta.
2. La risoluzione delle disequazioni viene effettuata con un procedimento analogo a quello relativo alle equazioni, utilizzando le proprietà note per non alterarne il valore di verità nei vari passaggi, ma con qualche cautela in più.
Infatti, occorre particolare attenzione quando si moltiplicano (o si dividono) entrambi i membri della disequazione per un numero negativo.
Per esempio, partendo dalla disequazione 3x - 8 > 8x e utilizzando il seguente procedimento, per raggruppare a sinistra i termini con la variabile,
3x - 8x > 8
-5x > 8
non sarebbe corretto dedurre x > -8/5, come potete facilmente verificare.
Per procedere correttamente può essere opportuno effettuare prima la moltiplicazione per -1, cambiando il senso della disuguaglianza, vale a dire, scrivendo:
5x < -8
da cui, questa volta in modo lecito, trarre x < -8/5.
Naturalmente, non è l'unico modo per procedere nel calcolo.
Per esempio, raggruppando a destra, anziché a sinistra, i termini con la x, si sarebbe subito ottenuto, senza altre trasformazioni:
-8 > 5x
-8/5 > x
vale a dire, leggendo da destra a sinistra, proprio x < -8/5.
3. Sistemi di disequazioni in una variabile
Un sistema è formato da diverse disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente.
Nel seguito esaminiamo un sistema che ha soluzioni e uno invece, che non ne ha.
I)
Risolvendolo (una disequazione per volta) si trae:
da cui l'intervallo di soluzioni x > 2 (ogni valore di x maggiore di 2 soddisfa il sistema).
Ricordate che per intervallo intendiamo un sottoinsieme della retta dei numeri reali che contiene almeno due numeri, tutti quelli compresi fra essi e fra qualsiasi altri due suoi numeri.
II)
ovvero 
4. Sistemi di disequazioni in due variabili
Tutti i punti al di sotto della retta di equazione 2x + 3y = 100 hanno coordinate x, y tali che 2x + 3y < 100.
Se vogliamo considerare anche i punti che appartengono alla retta possiamo scrivere la disequazione 2x + 3y ≤ 100.
L'insieme delle soluzioni di una disequazione di questo tipo è quindi costituito dalle coordinate dei punti di un semipiano.
Quali sono i punti per i quali 2x + 3y ≥ 100 ?
Ritorniamo al problema.
Non sapendo a priori se verrà usato tutto il materiale o il tempo a disposizione, la migliore formalizzazione è la seguente:
con il guadagno calcolato dall'espressione (funzione obiettivo) g = 120 x + 140 y.
Tale espressione è rappresentata da una retta g, che varia di posizione, mantenendo però la direzione (la pendenza è fissata dal rapporto -6/7), al variare del guadagno, vale a dire al variare del numero dei pezzi prodotti x e y.
Al crescere di g la retta ovviamente si sposta verso l'alto (g/140 è l'ordinata del punto di incontro con l'asse y) e si intuisce che il massimo guadagno sarà ottenuto nel (o in prossimità del) vertice ...
Se il guadagno per ogni oggetto di tipo B fosse 60 €, mentre quello per ogni oggetto di tipo A 120 €,
quali scelte costruttive può effettuare la fabbrica?
In questo caso il guadagno per ogni pezzo di tipo B scende a 60 €, per cui la pendenza della retta che rappresenta la funzione obiettivo risulta -2. Ci sono ora diversi punti di produzione che possono determinare il massimo guadagno.
Quali sono?
E se il guadagno per ogni oggetto di tipo B scendesse a soli 50 € ?
La pendenza della retta in questione risulta ora uguale a -12/5. Qual è la posizione del punto che ottimizza la produzione?
Supponiamo adesso che sia il guadagno sul tipo A a scendere a 50 €, mentre quello sul tipo B risulti invariato
a 140 €. Quale produzione, in questo caso, rende massimo il guadagno?