Una fabbrica produce due tipi di oggetti, A e B. Per programmare la produzione nel periodo antecedente
alla chiusura per trasferimento in altra sede, si rileva che si hanno a disposizione 100 kg di materiale e 1600
ore lavorative. E' noto che per la produzione di un oggetto del tipo A occorrono 2 kg di materiale e 50 ore
lavorative, mentre per la produzione di uno del tipo B occorrono 3 kg di materiale e 25 ore lavorative.
Il guadagno per ogni oggetto del tipo A ammonta a 120 €, mentre per ogni oggetto del tipo B a 140 €.

Quanti oggetti di tipo A e quanti di tipo B bisogna costruire, entro la chiusura, per realizzare il massimo
guadagno?

Indichiamo con x il numero di oggetti prodotti di tipo A e con y quello di tipo B.

Se tutto il materiale e tutte le ore lavorative fossero utilizzate, dovrebbe risultare contemporaneamente                         

Le due equazioni, insieme, costituiscono un sistema di 1° grado nelle due variabili x e y, indicato generalmente con la notazione

Per determinare i valori di x e y, possiamo procedere con diversi metodi:
 

a) metodo algebrico di sostituzione

Dalla prima equazione, per esempio, ricavare l'espressione di x

  che, inserita nella seconda (l'espressione della x deve essere di questo tipo, ma deve soddisfare anche la seconda equazione), fornisce         

  Risolvendo quest'ultima rispetto a  y si trova     y = 18.        

   Quindi, poiché       
                                                                    

    risulta  x = 23.            

I numeri 2, 3, 50, 25 si dicono coefficienti del sistema, mentre 100 e 1600 termini noti; x e  y sono le incognite. 

La verifica algebrica può essere effettuata inserendo i due valori trovati nelle equazioni di partenza (al posto delle incognite) e controllando i risultati.                            

b) metodo algebrico di eliminazione o di Gauss

Indicando con F(x) un polinomio nelle due variabili x ,y, osserviamo che se  F(x,y)= a  e  G(x,y)= b  allora  k F(x,y) = k a  o  k G(x,y) = k b e inoltre 
F(x,y) + G(x,y) = a + b;  riunendo insieme queste proprietà si ottengono i risultati illustrati nel metodo di Gauss;
moltiplicando ogni termine della prima equazione per -25 e poi addizionando tra loro entrambi i membri, al fine di eliminare la x, si otterrà successivamente:

Procedendo analogamente per eliminare la y (moltiplicando, per esempio, la prima per 25 e la seconda per -3) si trova ancora  x = 23.

Ovviamente, determinata la  y, si può anche risalire alla  x col metodo precedente di sostituzione.
 

c)  metodo grafico

Si tratta di ricavare le y dalle due equazioni

e disegnare le rette corrispondenti

Ovviamente questo metodo fornisce una soluzione approssimata (le coordinate del punto di incontro tra le due rette generalmente non si possono individuare esattamente ad occhio), ma utile per la valutazione del risultato.

E' da osservare che la seconda equazione può anche essere riscritta come    2x + y = 64 ,   semplificando i calcoli. 

Poiché si è ottenuta una soluzione con numeri interi, questa produzione effettivamente utilizza tutto il materiale e tutte le ore lavorative.
 

La figura seguente illustra la zona di possibile produzione, costituita dai punti di coordinate intere interni o sul contorno del quadrilatero OABC.

Verificate che, considerando punti a coordinate intere sui lati AB e BC del quadrilatero, il guadagno decresce procedendo da B verso A o verso C.

Ovviamente, per i punti al di sotto delle rette r o s il guadagno è ancora minore.

Ogni punto al di sotto delle rette r e s, come D, determina, come si è detto, una possibile produzione, ma non ottimale.
Il punto A non ha coordinate intere e quindi non permette una produzione corrispondente: possono allora essere presi in considerazione i punti prossimi ad esso
(0,33) e (1,32), ma anche per essi il guadagno è minore.
Un punto come E non è di produzione, perché, pur rientrando nei limiti di tempo, richiede un quantitativo di materiale superiore al disponibile.
Un punto come F non è accettabile perché in tal caso è il tempo richiesto ad essere superiore a quello fissato, pur essendo sufficiente il materiale a disposizione.
Infine, a maggior ragione, anche i punti al di sopra delle due rette r e s non rappresentano produzioni possibili, perché né materiale né tempo risulterebbero sufficienti.

Possiamo quindi rispondere alla prima domanda del problema, osservando che 23 oggetti di tipo A e 18 di tipo B è la produzione che ottimizza il guadagno.