TEOREMI DI EUCLIDE

ABC è un triangolo rettangolo in A.
Muovete tale punto e osservate i valori dei prodotti.

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1.  Dei cateti di un triangolo rettangolo.

Si può congetturare che ..

Traccia di dimostrazione

AH è l'altezza relativa all'ipotenusa BC.
I triangoli ABC e ABH sono simili, perché hanno ...

Si può quindi impostare la proporzione   BC : AB = ...

Dunque ...

2.  Dell'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Si può congetturare che ...

Traccia di dimostrazione

AH è l'altezza relativa all'ipotenusa BC.
I triangoli ABH e AHC sono simili perché hanno ..

Si può quindi impostare la proporzione  BH : AH = ...

Dunque ...

3.  Il teorema di Pitagora

Dal primo teorema di Euclide (cfr. punto 1), applicato ai due cateti, segue subito il noto teorema di Pitagora.
Spiega perchè.

4. Oltre il teorema di Pitagora

Muovete il punto A, vertice del triangolo rettangolo, dove sui cateti e sull'ipotenusa sono costruite figure tra loro simili (in questo caso pentagoni).
Che cosa si può congetturare sulle aree di tali figure?

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Traccia di dimostrazione

Indicando con  SAB  l'area della figura costruita sul cateto AB, con SAC quella su AC e con SEC quella su BC, se a, b, c sono, rispettivamente, le misure di AB, AC e BC, risulta innanzitutto:

                               SAB / SEC  = a² /c²              SAC / SEC  =  ....  

da cui                      SAB / a² = SAC / b²  = (SAB + SAC ) / (...) = SEC / c²  ;

ma  a² + b² = c²  per il teorema di Pitagora, per cui deve essere anche  SAB + SAC = SEC .

5.  Scorrimenti

I quadrati costruiti sui cateti sono sottoposti a scorrimenti.

Scopri

 Vale ancora il teorema di Pitagora, vale a dire, la somma delle aree dei parallelogrammi costruiti sui cateti è ancora uguale all'area del parallelogramma costruito sull'ipotenusa?

6. Sulle corde di una circonferenza

PS e RQ sono due corde di una circonferenza.
Cambiate la configurazione e osservate i valori dei prodotti PT · TS e RT · TQ.
Che cosa si può congetturare?

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Potete fare diverse prove per vedere se i prodotti rimangono costanti al variare della configurazione.

Traccia di dimostrazione

I triangoli PRT e QTS sono simili, perchè ...

Si può quindi scrivere la proporzione PT : TR = ...

Dunque ...

7. Sulle secanti una circonferenza

Con riferimento alla figura

considerate i triangoli PAD e PBC.
Questi triangoli sono simili perché ..

Si può quindi scrivere la proporzione fra i lati  PA : PD = ...

Dunque sono uguali i prodotti...

8.  Tangente e secante una circonferenza

Con riferimento alla figura, dove la retta PQ è tangente alla circonferenza in Q,

considerate i triangoli PQS e PQR.
Questi triangoli sono simili perchè ...

Si può quindi impostare la proporzione  PR : PQ = ...

Dunque sono uguali i prodotti ...