Equazioni diofantee
 

Sono equazioni delle quali si cercano soluzioni intere (fu il matematico greco Diofanto a iniziarne lo studio).
Per soluzioni intere intendiamo, nel senso più generale, soluzioni in Z.

Supponiamo di volere risolvere, in N o in Z, la seguente equazione, vale a dire, determinare, se esistono, valori interi delle incognite che la rendono vera.

                              3 x - y = 4

Considerando le classi di resto modulo 3 (o, come anche si dice, congruenze aritmetiche) possiamo riscriverla sotto la forma (assumendo i numeri più piccoli positivi delle classi):

0 x + 2 y = 1

2 y = 1

da cui  y = 2, o più in generale,  y = 2 + 3 k.

Ritornando all'equazione di partenza, risulta allora:

3 x - (2 + 3k) = 4

3x = 4 + 2 + 3k

3x = 6 + 3k

x = 2 + k

Dunque, siamo riusciti a determinare un'infinità di soluzioni, della forma:

                        x = 2 + k

                        y = 2 + 3 k

Per valori di k interi positivi si ottengono coppie di numeri naturali, mentre assegnando a k valori interi negativi si ottengono anche soluzioni in Z.

Le soluzioni possono essere esplorate progettando un programma opportuno.

Non sempre, però, un'equazione di questo tipo ha soluzioni.
Per esempio, cercando di risolvere, in modo analogo, l'equazione:

               3 x + 6 y = 5

si ottiene (sempre con tre classi di resto)

               0 x + 0 y = 2

che non ha ovviamente soluzioni (né in N, né in Z).

2.  Nelle classi di resto, ogni classe ha sempre l'inversa per l'addizione, ma non è così per la moltiplicazione.

Ad esempio, con tre classi, per l'addizione le classi 0, 1, 2 hanno rispettivamente come inverse 0, 2, 1; per la moltiplicazione (escludendo la classe 0), 1, 2.
Con quattro classi, per l'addizione, a 0, 1, 2, 3, corrispondono le inverse 0, 3, 2, 1; per la moltiplicazione 1 e 3 hanno come inverse se stesse, ma 2 non ammette inversa.

Si può dimostrare che esiste sempre l'inversa, anche per la moltiplicazione, se e solo se il modulo della classe è un numero primo.

3. Utilizzando le classi di resto per risolvere le equazioni diofantee del tipo in questione, non è detto che si trovino tutte le soluzioni.
Per esempio, risolvendo  l'equazione 

                                                    4x - 6y = 8

con quattro classi di resto, risultano le infinite coppie di soluzioni:

                                    x = 2 + 6k

                                    y = 4k

da cui, però, ad esempio, rimane esclusa la coppia  x = 77, y = 50 (che non si può ottenere con k intero).

Utilizzando però due classi di resto o semplificando l'equazione in

                                                    2x - 3y = 4

si riesce a determinarle tutte.

Utilizzando le classi di resto provate a risolvere il seguente simpatico problema, dato in una gara di matematica (Polymath, aprile 2005):

Qualche anno fa ... quando l'agricoltura seguiva ancora le regole della natura, un contadino andò al mercato con un milione di lire in tasca e con l'intenzione di comprare 100 animali.
Una capretta costava 150 mila lire, un'ochetta 10 mila lire e un pulcino 2500 lire.
Quali animali dovette comprare il contadino per spendere tutto il suo denaro e per portare a casa almeno un animale per tipo?