1. Scrivete in un foglio elettronico alcuni numeri in due colonne, come mostra la figura seguente:
Calcolate le
medie M1 e M2
delle due colonne e quindi la somma M1 + M2.
Scrivete poi tutte le
possibili somme tra i numeri della prima e della seconda colonna,
quindi calcolate la media di tali somme.
Verificate, cambiando più
volte i dati, che i due risultati coincidono sempre.
2. Ripetete le istruzioni del punto
precedente, ma questa volta fate la media di tutti i possibili prodotti
tra le due colonne.
Verificate che, ancora, il risultato ottenuto
coincide con il prodotto M1·
M2.
3. Il valore atteso
E(X) (Expected value) di una variabile
X è l'estensione della media al caso in cui le probabilità
dei valori di X di verificarsi
non sono tutte
uguali.
Per esempio, in un dado truccato, se le probabilità dei sei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 sono, rispettivamente 1/6, 1/6, 1/2, 0, 1/12, 1/12, allora il valore atteso risulta:
4. Considerate per tre volte il lancio di una moneta e le variabili casuali X e Y seguenti:
| X |
evento |
| 1 | testa al 1° lancio |
| 0 | croce al 1° lancio |
| Y | evento |
| 0 | nessuna testa |
| 1 | compare una sola testa |
| 2 | due teste |
| 3 | tre teste |
Verificate le probabilità riportate nella seguente tabella:
| X \ Y | 0 | 1 | 2 | 3 | totale |
| 1 | 0 | 1/8 | 2/8 | 1/8 | 4/8 |
| 0 | 1/8 | 2/8 | 1/8 | 0 | 4/8 |
| totale | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 | 1 |
La colonna verde esprime la probabilità marginale di X, mentre la riga gialla la probabilità marginale di Y.
Calcolate E(X),
E(Y), E(X+Y),
E(X · Y) e confrontate i valori
ottenuti con E(X) + E(Y) e
E(X) · E(Y).
Che cosa
notate?
Se ci sono due teste, qual è la probabilità che sia testa al primo lancio?
5. Considerate adesso le seguenti variabili, ancora dipendenti:
X testa (1) o croce (0) nel lancio di una moneta truccata in cui viene sempre croce
Y = X2
da cui la tabella:
| X\Y | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Calcolate, anche in questo caso,
E(X), E(Y), E(X+Y),
E(X · Y) e
confrontate i valori ottenuti con E(X) + E(y) e
E(X) · E(Y).
Quali
congetture si
possono enunciare?
6. Nel lancio contemporaneo di tre monete, guadagnate 1 euro ogni volta che escono precisamente due teste; quanto ritenete di dover pagare, per ogni lancio non andato a buon fine, affinché il gioco, alla lunga, non vi causi guadagni o perdite sensibili?
Tenuto presente che la probabilità di ottenere, in un lancio, precisamente due teste è 3/8, mentre, in caso contrario, è 5/8, progettate un programma che vi permetta di congetturare una risposta.
Dal punto di vista teorico si tratta di determinare quel valore di x tale che risulti:
