Teorema di Talete: rapporti non razionali
Poiché un numero irrazionale (reale non razionale) risulta compreso fra un'infinità di frazioni che lo approssimano per difetto o per eccesso, due numeri irrazionali α e β si possono considerare uguali se, e solo se, risultano compresi fra le stesse coppie di frazioni, nel senso seguente:
α < p/q bimplica β < p/q
α > p/q bimplica β > p/q
comunque si prendano gli interi p e q (q ≠0).
Considerato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali,
supponiamo che ai punti A, B, C, D corrispondano, rispettivamente, i punti A',
B', C', D'.
Indicando brevemente con AB la misura del segmento AB, se AB/CD > p/q allora si
può scrivere AB/p > CD/q; poichè al segmento AB/p corrisponde A'B'/p e a
CD/q corrisponde C'D'/q, risulta anche A'B'/p > C'D'/q, ovvero A'B'/C'D' >
p/q.
Analogamente, se AB/CD < p/q allora è anche A'B'/C'D' < p/q.
Dunque, AB/CD = A'B'/C'D'.