Prerequisiti: Quadrato di un binomio
Risoluzione esatta dell'equazione di 2° grado
1. Ci sono equazioni di 2° grado
facilmente risolvibili in modo esatto.
Per esempio, per risolvere l'equazione x2 -3x = 0 è
sufficiente applicare la proprietà distributiva al fine di mettere in evidenza
l'incognita x:
x(x-3) = 0 , da cui le due soluzioni x = 0 e x = 3.
Ancora, data l'equazione x2 - 4x +4 = 0, si può scriverla sotto la forma (x-2)2 = 0, riconoscendone subito la soluzione x = 2 .
Un altro caso semplice da trattare è il seguente:
3x2 - 7 = 0
Infatti si può scrivere subito:
da cui
Ma non è sempre così: per esempio, l' equazione non è di tali tipi, per cui dobbiamo escogitare un altro modo di risoluzione.
2. Cerchiamo allora, se possibile, di trasformare l'equazione in questione in uno dei tipi precedenti.
Osserviamo che, se fosse scritto:
comparirebbe proprio il quadrato di un binomio, come in uno dei casi esaminati sopra.
Aggiungiamo allora il termine 1/4 ad entrambi i membri dell'uguaglianza (per ottenere un'equazione di forma diversa ma equivalente), ovvero:
Possiamo quindi scrivere, successivamente:
ricavando, precisamente, le due soluzioni:
delle quali la prima è quella che ci interessa.
E' da notare che, in questo modo, siamo giunti al suo valore esatto,
che è un numero reale non razionale.
3. Rappresentando graficamente la funzione
e osservandone gli zeri, si può verificare l'attendibilità delle soluzioni dell'equazione corrispondente , ottenute come sopra.
4. Con un ragionamento analogo a quello del punto 2, ma operando con le lettere, possiamo arrivare a una formula generale per la risoluzione dell'equazione di 2° grado.
5. E' possibile progettare un programma per la risoluzione delle equazioni fino al 2° grado.