PrerequisitiQuadrato di un binomio

Risoluzione esatta dell'equazione di 2° grado

                   

1.  Ci sono equazioni di 2° grado facilmente risolvibili in modo esatto.
Per esempio, per risolvere l'equazione x2 -3x = 0 è sufficiente applicare la proprietà distributiva al fine di mettere in evidenza l'incognita x:

          x(x-3) = 0  , da cui le due soluzioni   x = 0  e  x = 3.

Ancora, data l'equazione x2 - 4x +4 = 0, si può scriverla sotto la forma  (x-2)2 = 0, riconoscendone subito la soluzione x = 2 .

Un altro caso semplice da trattare è il seguente:

          3x2 - 7 = 0

Infatti si può scrivere subito:  

                
da cui               

         .

Ma non è sempre così: per esempio, l' equazione     non è di tali tipi, per cui dobbiamo escogitare un altro modo di risoluzione.

 

2Cerchiamo allora, se possibile, di trasformare l'equazione in questione in uno dei tipi precedenti.

Osserviamo che, se fosse scritto:

comparirebbe proprio il quadrato di un binomio, come in uno dei casi esaminati sopra.

Aggiungiamo allora il termine 1/4 ad entrambi i membri dell'uguaglianza (per ottenere un'equazione di forma diversa ma equivalente), ovvero:

Possiamo quindi scrivere, successivamente:

ricavando, precisamente, le due soluzioni:

 

delle quali la prima è quella che ci interessa.

E' da notare che, in questo modo, siamo giunti al suo valore esatto,  

che è un numero reale non razionale.

 

3. Rappresentando graficamente la funzione

e osservandone gli zeri, si può verificare l'attendibilità delle soluzioni dell'equazione  corrispondente , ottenute come sopra.

 

4.  Con un ragionamento analogo a quello del punto 2, ma operando con le lettere, possiamo arrivare a una formula generale per la risoluzione dell'equazione di 2° grado.

5. E' possibile progettare un programma per la risoluzione delle equazioni fino al 2° grado.