Proprietà della varianza e concetto di covarianza.

1. Sull'asse delle ascisse di un piano cartesiano considerate i numeri naturali da 1 a 10 e sia X la variabile casuale che li rappresenta.

Verificate, applicando le definizioni, che E(X) = 11/2  e  VAR(X) = 33/4.

2.  Operando con una traslazione  a sinistra per portare la media nell'origine delle ascisse, verificate che risulta, come ci si aspetta,  E(X') = 0 e, ancora,

                                                                                             .

3.  Operate adesso con un'omotetia    sui risultati del punto 2 e verificate che risulta ancora 

     E(X'') = 0, ma VAR(X'') = 11/12.

Si può osservare che VAR(X'') = 1/9 · VAR(X'), vale a dire, la varianza ha assunto un valore 9 volte più piccolo.

Provate con l'omotetia x'' = x'/4:  il valore della varianza risulta 16 volte più piccolo?

Sarà sempre così?

4. Riprendete la tabella dove X e Y sono le due variabili dipendenti relative al lancio di due dadi (punteggio su un dado e somma dei due punteggi):

a) Indicate E(X) e E(Y), rispettivamente, con m_x e  m_y

b) Indicate i valori di X e Y, rispettivamente, con x_i e y_i

c) Calcolate il valore atteso del prodotto degli scarti dalle medie delle due variabili, vale a dire,  E((x_i - m_x)(y_i - m_y)).
Questo prodotto è detto anche covarianza delle variabili X e Y e indicato, brevemente, con COV (X,Y): esso misura la tendenza delle due variabili a variare insieme.

d) Verificate che:
  
                                VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2 COV(X,Y)

5.  Considerate due insiemi di numeri casuali, vale a dire, per esempio, le due variabili indipendenti:

Verificate che, in tal caso, COV(X,Y) = 0, vale a dire, l'uguaglianza in d) del punto precedente diventa, più semplicemente:

                                VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)