Proprietà del valore atteso

1.

a. Pensando di lanciare in aria due monete, si può indicare con X la variabile "numero delle teste ottenute"; poi, estraendo una carta da gioco da un mazzo di 52, con Y la variabile "numero delle carte rosse ottenute".
X varia nell'insieme di possibilità {0, 1, 2}, mentre Y nell'insieme {0, 1}.
Supponendo che sia il mazzo che le monete non siano regolari e che le probabilità per i valori di X di verificarsi risultino, rispettivamente,  

mentre quelle di Y

verificate che 

                          E(X + Y) = E(X) + E(Y) .

b. Nel lancio di due dadi, uno rosso e l'altro verde, considerate le variabili casuali

           X:   punteggio sul dado rosso

           Y:   somma dei due punteggi

e completate la seguente tabella di probabilità:

Verificate che i valori attesi E(X) e E(Y) delle due variabili risultano, rispettivamente, 7/2 e 7, mentre il valore atteso E(X+Y) della somma coincide con E(X) + E(Y).

c. Tale relazione , E(X + Y) = E(X) + E(Y),  vale in generale.

2.  Con riferimento all'esperimento considerato nel punto a precedente, verificate che E(X · Y) = E(X) ·  E(Y) .

3. Considerate la seguente situazione, dove le variabili X e Y sono dipendenti e verificate che  

    E(X · Y) ≠ E(X) ·  E(Y) .
 

X   testa(1) o croce (0) nel lancio di una moneta

Y = X²

4. Le seguente relazioni, dove k è un qualsiasi numero reale, sono, in generale,  vere o false?

                           E(k·X) = k · E(X)

                           E(X + k) =  E(X) + k