Il modello di Poincarè della geometria iperbolica

Poincarè considera come piano iperbolico l'ambiente costituito da una circonferenza C, dai punti interni a C (punti iperbolici) e dalle circonferenze ortogonali a C (rette iperboliche).
Due rette incidenti sul bordo si dicono parallele.
Esistono, per un punto P,  due rette p, q diverse e parallele a una retta data r, non passante per quel punto.

Ritroviamo così le rette di Saccheri p e q (le parallele) e le rette che non la incontrano, tipo i (iperparallele).

Due rette parallele hanno due perpendicolari distinte passanti per uno stesso punto.

Due rette iperparallele hanno in comune un'unica perpendicolare.