Applicazioni curva normale

Supponendo la continuità dei dati, quindi in via approssimativa, il problema dei bambini partecipanti alla festa si può risolvere rapidamente utilizzando la curva normale, in una qualsiasi delle sue forme.

1. Forma standard

Siano, per esempio, 120 i bambini partecipanti.
In tal caso risulta:

Chiedersi qual è la probabilità che un campione come il nostro, di 20 bambini, fornisca 15 risposte affermative, significa chiedersi, in questo altro contesto, risultando  14,5 - 14,3 = 0,2 , qual è la probabilità che il campione indichi una differenza di 0,2 o più dal valore atteso per quanto riguarda le risposte affermative.

Poiché il valore della variabile standardizzata è

risulta

la probabilità in questione.

Analogamente, posto che siano 140 i partecipanti, risultano:

e, poiché 15,5 - 16,7 = -1,2 ,  x' = -1,2/1,7 » -0,7 , la probabilità che il campione indichi una differenza di  -1,2 o meno dal valore atteso risulta:

Continuando con le varie ipotesi, si può costruire la tabella:

fino ad arrivare a scartare quelle ipotesi che conducono ad una bassa probabilità che un campione come il nostro si comporti in tal modo (generalmente, inferiori al 5%.

Completare la tabella e trarre le conclusioni con un grado di fiducia del 95%, confrontandole poi con quelle ottenute tramite la distribuzione binomiale.

2.  Forma generale

Si arriva alle stesse conclusioni considerando l'equazione generale della curva:

vale a dire, non standardizzando la variabile.

In tal caso, infatti, per esempio nel caso dell'ipotesi di 140 bambini, risultando m  = 16,7  e  σ = 1,7 , si ottiene la probabilità direttamente dal calcolo dell'integrale:

 3.  Come si è visto con la distribuzione binomiale, nell'ipotesi di 140 bambini partecipanti, la probabilità di 15 risposte affermative su 20 è circa 0,13; l'ordinata della curva normale, in una delle due forme, approssima meglio questo risultato (i calcoli seguenti sono stati ottenuti con una TIV):

FORMA STANDARD

Considerando, come esempio, il valore x = 15, occorre innanzitutto standardizzare la variabile, ottenendo  x' = (15-16,7)/1,7 = -1 ; calcolare, quindi, il valore della funzione e dividere quest'ultimo per σ :

FORMA GENERALE

In questo caso si può inserire direttamente il valore della variabile nella funzione e ottenere subito il risultato: