La geometria ellittica

Nel 1854 Riemann nega gli assiomi dell'ordine (prolungamento della retta) e fonda un nuovo tipo di geometria, la geometria ellittica.
Nel seguito descriviamo il modello sferico di tale geometria.

Pensiamo di proiettare dal centro O di una sfera, su un piano p  ad essa tangente, le coppie di punti diametralmente opposti della superficie sferica (simmetrici rispetto al centro della sfera),con rette passanti per O, e le circonferenze massime (con centro nel centro della sfera), con piani passanti per O.

Diremo brevemente punto della sfera una coppia di punti diametralmente opposti e retta una circonferenza massima.

L'insieme delle rette e dei piani passanti per O (stella di rette e piani) determina una traccia di punti e rette su p  (piano ellittico).

In questo caso, nel piano p, due rette distinte si incontrano sempre in uno e in un solo punto (infatti due piani distinti per O si incontrano sempre in una e una sola retta per O).

Considerata una retta e un punto su di essa, esiste una e una sola perpendicolare per questo punto a quella retta.

Interpretate le relazioni di appartenenza e perpendicolarità su p sulla base delle corrispondenti relazioni nella stella.

E' possibile l'esistenza di due rette perpendicolari ad una terza, passanti per uno stesso punto.

¨ Esistono su p  rette parallele?

¨ Come può essere interpretata la simmetria rispetto a un punto P di p ?

¨ Come può essere interpretata la simmetria rispetto ad una retta r di p ?

¨ Considerati, su p ,  un punto P e una retta r, è unica la perpendicolare per P alla retta r ?

¨ Esistono su  p  triangoli con i lati fra loro tutti perpendicolari?

¨ Due rette su p  hanno sempre una perpendicolare comune?