Numeri complessi e matrici                                                                                                                                             

 

Ricordando la forma della matrice di una similitudine lineare diretta

                                                                                                                                                          ,

consideriamo la corrispondenza biunivoca  

                                                                                                                                     

che a ogni punto del piano diverso da   associa la matrice    , vale a dire  la similitudine che trasforma il punto    nel punto  .
 

Poiché il punto può riguardarsi come rappresentante di un vettore, già sappiamo addizionare, in questo senso, due punti:

                                                                                                                                       

Sappiamo anche addizionare e moltiplicare, in un certo senso, due matrici (completa le uguaglianze seguenti):

                                                                                                   

Nelle ipotesi precedenti , poiché   

                                                                                

risulta subito che

                                                                             

Non abbiamo finora, però, dato alcun significato alla moltiplicazione dei punti.
Possiamo tentare allora di procedere come segue: prima troviamo le matrici corrispondenti ai punti fattori, le moltiplichiamo fra loro e quindi consideriamo tale risultato come immagine del prodotto dei punti, vale a dire, consideriamo come prodotto dei punti la controimmagine del prodotto ottenuto fra le matrici corrispondenti. 
Così, dati i punti:

                                                                                   e                  ,

risulta

                                                                         

e quindi

                                                                       

dalla prima colonna della matrice prodotto.

In definitiva

                                                                      

L'insieme dei punti   e delle matrici  ,  con le operazioni di addizione e moltiplicazioni definite, costituiscono due strutture algebriche, dove la corrispondenza biunivoca j , che mantiene da una struttura all'altra, nel senso di cui sopra, le due operazioni, risulta un isomorfismo fra le strutture (le due strutture sono isomorfe, vale a dire, si comportano allo stesso modo dal punto di vista algebrico).

Per brevità, indichiamo con   l'immagine del punto nella corrispondenza  , quando questa notazione non comporta ambiguità di interpretazione.

Risulta, in base a quanto precede,   , dove la matrice a secondo membro è l'identità nella moltiplicazione fra matrici (elemento neutro), mentre il punto a primo membro è l'identità nella moltiplicazione dei punti (appena definita). Poiché questi due oggetti matematici (matrici e punti) si comportano, come si è detto, allo stesso modo, possiamo indicarli entrambi con la lettera I.
Se indichiamo con  -I la matrice (opposta di I):

                                                                               

allora risulta

                                                                                   e

                                               

Indicando, inoltre, il punto    e la matrice  , corrispondenti nell'isomorfismo, con la lettera  i, possiamo scrivere allora   i2=-I.

Indicando ora un generico punto del piano e la matrice corrispondente con la lettera  v, possiamo osservare che v può ottenersi combinando I e i nel modo seguente:

                         v = I · a + i · b      

dove a, b sono due opportuni numeri reali.

Ancora, in virtù dell'isomorfismo fra i numeri reali x e l'insieme dei punti , indicando  I con 1, si ottiene:

                                    v = a + i b

dove  i2=-1.

In definitiva, i simboli come v, di cui i punti del piano e le matrici precedenti costituiscono due interpretazioni (con le operazioni dianzi definite), prendono il nome di numeri complessi.
Si ha essenzialmente una sola struttura, quella dei numeri complessi, della quale i punti e le matrici costituiscono due modelli.

In base a quanto precede i numeri complessi si possono addizionare o moltiplicare secondo le ordinarie regole di calcolo valide per i reali, cui si sottomette anche il simbolo i, tenendo solo presente che i2=-1.