Funzioni diverse di densità di probabilità
1. Vediamo, nel seguito, alcune forme diverse di densità di probabilità:
a. costante
b. lineare
c. quadratica
a. Considerato un dado non truccato, le seguenti probabilità si riferiscono al presentarsi di ciascuna delle sei facce:
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Nella figura sopra l'intervallo 0-1 corrisponde all'uscita della faccia 1, l'intervallo 1-2 all'uscita della faccia 2 e così via.
La funzione y = 1/6 esprime la densità di probabilità: la probabilità, per esempio, che esca la faccia 3 si può in tal modo riguardare come data dall'area del rettangolo di base 2-3 e altezza 1/6, vale a dire 1 %u03871/6 = 1/6.
L'area totale del rettangolo grande è 1 e corrisponde al fatto che una delle sei facce deve sicuramente presentarsi.
La funzione di densità ci indica che la probabilità si distribuisce come 1/6 per ogni unità di lunghezza.
La funzione cumulativa di probabilità (si presenta la faccia 1, o le facce 1 e 2 , o 1,2,3, ...) è invece la seguente:
0-1 1/6
0-2 2/6
0-3 3/6
0-4 4/6
0-5 5/6
0-6 1
b. Questa volta il dado è truccato, con le seguenti probabilità sull'uscita di ciascuna delle facce:
1 1/36
2 1/12
3 5/36
4 7/36
5 1/4
6 11/36
La funzione di probabilità cumulativa risulta:
0-1 1/36
0-2 1/9
0-3 1/4
0-4 4/9
0-5 25/36
0-6 1
In tal caso, la densità di probabilità è ancora lineare, ma non più costante.
Passando, anche qui, dal discreto al continuo si può ritenere tale densità data approssimativamente dalla funzione y= 1/18 x (la funzione ottenuta direttamente dai dati discreti della probabilità riportati nella prima tabella risulta, precisamente, y = 1/18 (x-1) + 1/36).
E' da osservare infatti che l'area sotto la retta, tra 0 e 6, come ci si aspetta, è uguale a 1 (dove ogni intervallo 0-1, 1-2, 2-3, ...,5-6, assumendone per esempio il valore centrale come punteggio di una faccia, rappresenta il suo verificarsi).
La probabilità che si presenti, per esempio, la faccia 6 può riguardarsi come data dall'area del trapezio di altezza 5-6 e basi y(5) e y(6): (5/18 + 6/18) %u03871/2 = 11/36.
c. Ancora il dado truccato, ma con le seguenti probabilità:
1 2/27
2 5/27
3 13/54
4 13/54
5 5/27
6 2/27
Risulta la funzione di probabilità cumulativa (di 3° grado):
0-1 2/27
0-2 7/2
0-3 1/2
0-4 20/27
0-5 25/27
0-6 1
mentre la funzione di densità di probabilità (di 2° grado) è data da
Tale funzione, ad esempio per x = 2, fornisce la probabilità 2/9 » 0.222, mentre il vero valore della probabilità è 5/27 » 0.185; calcolando però l'area approssimata sotto la curva nell'intervallo 1-2, come area del trapezio corrispondente centrato su 1.5 con altezza uguale a 1 e basi i valori della funzione nei punti x= 1 e x = 2, si trova (2/9 + 5/36)/2 » 0.181, già quindi un'approssimazione migliore.
Suddividendo poi l'intervallo tra 1 e 2, per esempio, in otto parti e considerando la somma delle aree degli otto trapezi corrispondenti, si trova un'ottima approssimazione dell'area, ovvero proprio 0.185.
2. Utilizzando il calcolo integrale si possono ritrovare rapidamente i risultati precedenti.
Una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] è di densità di probabilità della variabile casuale continua x se e solo se: