Funzioni diverse di densità di probabilità
 

1.  Vediamo, nel seguito, alcune forme diverse di densità di probabilità:

a.  costante

b.  lineare

c.  quadratica

aConsiderato un dado non truccato, le seguenti probabilità si riferiscono al presentarsi di ciascuna delle sei facce:

1     1/6                                                                                                                                       

2     1/6

3     1/6

4     1/6

5     1/6

6     1/6

 

 

 

Nella figura sopra l'intervallo 0-1 corrisponde all'uscita della faccia 1, l'intervallo 1-2 all'uscita della faccia 2 e così via.
La funzione y = 1/6 esprime la densità di probabilità: la probabilità, per esempio, che esca la faccia 3 si può in tal modo riguardare come data dall'area del rettangolo di base 2-3 e altezza 1/6, vale a dire 1 %u03871/6 = 1/6.
L'area totale del rettangolo grande è 1 e corrisponde al fatto che una delle sei facce deve sicuramente presentarsi.
La funzione di densità ci indica che la probabilità si distribuisce come 1/6 per ogni unità di lunghezza.

La funzione cumulativa di probabilità (si presenta la faccia 1, o le facce 1 e 2 , o 1,2,3, ...) è invece la seguente:

0-1     1/6

0-2     2/6

0-3     3/6

0-4     4/6

0-5     5/6

0-6     1

 

b. Questa volta il dado è truccato, con le seguenti probabilità sull'uscita di ciascuna delle facce:

1     1/36

2     1/12

3     5/36

4     7/36

5     1/4

6     11/36

La funzione di probabilità cumulativa risulta:

0-1     1/36                                                                                           

0-2     1/9

0-3     1/4

0-4     4/9

0-5     25/36

0-6     1

 

In tal caso, la densità di probabilità è ancora lineare, ma non più costante.
Passando, anche qui, dal discreto al continuo si può ritenere tale densità data approssimativamente dalla funzione  y= 1/18 x  (la funzione ottenuta direttamente dai dati discreti della probabilità riportati nella prima tabella risulta, precisamente,  y = 1/18 (x-1) + 1/36).
     

                   

E' da osservare infatti che l'area sotto la retta, tra 0 e 6, come ci si aspetta, è uguale a 1 (dove ogni intervallo 0-1, 1-2, 2-3, ...,5-6, assumendone per esempio il valore centrale come punteggio di una faccia, rappresenta il suo verificarsi).
La probabilità che si presenti, per esempio, la faccia 6 può riguardarsi come data dall'area del trapezio di altezza 5-6 e basi y(5) e y(6):  (5/18 + 6/18)
%u03871/2 = 11/36.

c. Ancora il dado truccato, ma con le seguenti probabilità:

1     2/27

2     5/27

3     13/54

4     13/54

5     5/27

6     2/27

Risulta la funzione di probabilità cumulativa (di 3° grado):

0-1     2/27

0-2     7/2

0-3     1/2

0-4     20/27

0-5     25/27

0-6     1

 

 

mentre la funzione di densità di probabilità (di 2° grado) è data da

                                                                          

Tale funzione, ad esempio per x = 2, fornisce la probabilità 2/9 » 0.222, mentre il vero valore della probabilità è 5/27 » 0.185; calcolando però l'area approssimata sotto la curva nell'intervallo 1-2, come area del trapezio corrispondente centrato su 1.5 con altezza uguale a 1 e basi i valori della funzione nei punti x= 1 e x = 2, si trova (2/9 + 5/36)/2 » 0.181, già quindi un'approssimazione migliore.
Suddividendo poi  l'intervallo tra 1 e 2, per esempio, in otto parti e considerando la somma delle aree degli otto trapezi corrispondenti, si trova un'ottima approssimazione dell'area, ovvero proprio 0.185.

 

2.  Utilizzando il calcolo integrale si possono ritrovare rapidamente i risultati precedenti.

Una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] è di densità di probabilità della variabile casuale continua x se e solo se: