Metodi di sostituzione e per parti nel calcolo integrale

 

Il più delle volte non è immediato calcolare un integrale e si cerca allora di escogitare un metodo conveniente.
Due sono i metodi principali da seguire in questi casi.
 

1. Metodo di sostituzione

Per calcolare, ad esempio, un integrale del tipo  , possiamo cercare di eliminare la radice ponendo    .

Effettuate la sostituzione e verificate che si ottiene:

                                           

                                           

Osserviamo che il procedimento passo per passo attuato sulla TIV ha dato lo stesso risultato (sottoforma di potenze), mentre sia la TIV che il sistema Derive danno, in modo immediato, risultati apparentemente diversi, come

                           

Calcolate, in modo analogo, l'integrale:

 

2. Metodo per parti

Considerate la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:

                     

dove    

Verificate che, moltiplicando per dx e integrando, si ottiene:

                            

f  si dice fattore finito e  dg  fattore differenziale.

Questa formula è utile quando    è più facile da calcolare rispetto a   

Calcolate, per esempio,       , una volta scegliendo sin (x) come fattor finito e l'altra scegliendo invece x.
In quale dei due casi il procedimento ha successo?

 

Calcolate, inoltre: