Grafici al calcolatore

1.  Provate a disegnare, utilizzando un calcolatore,  il grafico della funzione:

Come potete notare, anche cambiando le scale non è facile cogliere l'andamento globale del grafico.

Per arrivare a capirlo, utilizziamo la matematica che conosciamo.

La derivata risulta:

e  si azzera per       x = -0.01071773462    e  per       x = 0.01071773462

che, come si vede, sono valori molto piccoli in valore assoluto (molto vicini allo zero).

Questo ci suggerisce di provare con una scala dell'ordine di grandezza di 1/100 sull'asse x; per capire l'ordine di grandezza sull'asse y, poniamo, per esempio, x = 0.02 nella funzione e otteniamo y = - 9.756088256·10³⁶.
Lavoriamo allora con una scala dell'ordine di 10³⁷  e ... cominciamo a scorgere qualcosa!

Il calcolo conferma la visualizzazione grafica degli zeri della funzione: infatti, risolvendo l'equazione y = 0, si trovano, per simmetria, i due zeri x = 0.01 e x = -0.01.

Il minimo è quindi molto vicino allo zero!

Per visualizzarlo poniamo innanzitutto il valore della sua ascissa 0.01071773462 nella funzione e otteniamo y = - 2.499999999·10³⁹ ;    aumentiamo allora la scala sull'asse y portandola all'ordine 10³⁹.

Ora possiamo capire l'andamento del grafico:

Il calcolo dei due limiti seguenti ci conferma, inoltre, che la funzione tende a zero per x tendente a infinito e che tende a infinito per x  tendente a zero:

2.  Un aiuto per avere rapidamente un'idea del grafico di una funzione z(x) del tipo di cui sopra ci viene dato dall'utilizzo di  y= arctan(z).

Osserviamo infatti,  innanzitutto, che questa funzione ha gli stessi zeri della funzione z (arctan(z) = 0 se e solo se z = 0).

Inoltre, poiché la derivata risulta (essendo z una funzione di x) 

essa ha anche gli stessi valori di x per i punti stazionari (per i quali z' = 0).

Il grafico della funzione 
                                       

risulta infatti, nella scala indicata in figura:

e ci  conferma che, a grandi distanze il comportamento della funzione z (nell'esempio quella del punto 1) tende a zero, mentre intorno allo zero delle ascisse diventa fortemente negativa   (con riferimento alla funzione y = arctan(z), quando   y tende a -p/2 » -1,57  z tende a - infinito).

Quando x tende a zero il grafico seguente ci mostra precisamente che la funzione z tende a + infinito, mentre, per la continuità della funzione y, si capisce che z taglia due volte l'asse x, intorno ai punti 0,01 e -0,01 (anche se la parte corrispondente del grafico non è, in questo caso, tracciata).

3 .    Altri grafici

I)  Disegnando il grafico della funzione            con una scala standard su un calcolatore, si ottiene il tracciato seguente:

E' corretto ( nel senso che rispetta l'andamento globale del grafico) ?

Poiché risulta        per      e     ,   devono esserci  tre asintoti, mentre la  figura ne suggerisce solo due.

La derivata della funzione è                

e si azzera, oltre che per x = 0,  per x » 1,4  (x^1/5), dove è presente un massimo relativo.

Ingrandendo la parte destra compare infatti la parte mancante:

Adesso si capisce bene l'andamento del grafico.

II)  Considerando la funzione       .    e  ricercandone  il grafico al calcolatore abbiamo ottenuto:

C'è da fidarsi?

La funzione è della forma, per x tendente a zero (da destra),  0 · ∞.
Rendendola nella forma   , ovvero   , e applicando due volte il teorema di de l'Hospital  si capisce che deve tendere anch'essa a zero.
Inoltre, annullando la derivata prima, si vede che presenta un massimo in x = e^-4 » 0,018 (oltre al minimo in x = 1).

Il grafico, in prossimità dell'origine delle coordinate, è dunque il seguente:

4. Costruire l'equazione di una funzione, dato il grafico
    (prove ed errori, con l'utilizzo della calcolatrice grafica o Derive)

I.  Qual è l'equazione della funzione il cui grafico è il seguente?

Partiamo dal grafico di  y = arctan(x):

I

Il nostro si trova traslato a destra di 2, con una parte ribaltata; proviamo con   :

Comincia ad avvicinarsi, ma è un pò più basso: infatti tende a  p/2, mentre il nostro sembra tendere a 5.

Poiché  k · p/2 = 5 implica  k = 10/p, proviamo a moltiplicare per  10/p, vale a dire, disegniamo la funzione      :    questa volta, funziona!

II .    Qual è l'equazione della funzione il cui grafico è il seguente?

Sembra avere due asintoti nei punti  x = 2 e x = 5.

Proviamo allora con                :

Come si vede, è solo ribaltata; è sufficiente allora cambiare segno alla y (simmetria rispetto all'asse y), vale a dire, disegnare la funzione

                                                 .

III .  Qual è l'equazione della funzione il cui grafico è il seguente?

Partiamo dalla funzione    , che ha per asintoto l'asse x e il massimo in  x = 0:

Occorre innanzitutto spostarla a destra di 4 e in basso di 3, da cui l'equazione    :

Moltiplichiamo ora per 3, per avere il punto di massimo che tocca l'asse x, ovvero   .

IV.   Qual è l'equazione della funzione il cui grafico è il seguente?

Appare come  y = sin(x) spostato a sinistra di circa 2; l'ampiezza è approssimativamente 2.5, assumendo la cresta inferiore e quella superiore rispettivamente a  -2 e 3.  Cominciamo a disegnare allora  la curva  y = 2.5 sin(x+2) :

Siamo vicini, ma dobbiamo alzarla di circa 0.5 e modificare leggermente il periodo; nella funzione data esso è circa 6, quindi dobbiamo determinare il numero p, coefficiente di x,  in modo che 2p / p = 6.
Risulta  p = 1.0472.
Provare a disegnare, quindi, il grafico       .

V.  Qual è l'equazione della funzione il cui grafico è il seguente?

La funzione è definita fra 0 e 8 e ha un asintoto verticale per x = 8; possiamo quindi iniziare a studiare il grafico della funzione

.    Si ottiene:

 E' un po' bassa; proviamo a moltiplicare per x², ottenendo     :

Ora è un po' alta; moltiplichiamo allora solo per x, cioè     :

Adesso va bene!