PROVE RIPETUTE

1. Con rimbussolamento

In un'urna ci sono 3 palline bianche e 2 rosse; si estrae una pallina, che poi viene riposta nell'urna, per 20 volte.
Qual è la probabilità di ottenere esattamente 12 palline bianche?

Per risolvere questo problema, si può cominciare a osservare, indicando con p la probabilità del successo s (pallina bianca) e con q quella dell'insuccesso s' in una singola estrazione (p=3/5, q=2/5), che in due estrazioni si possono ottenere i casi:

                     s's'           0 successi
                     s's o ss'    1 successo
                     ss            2 successi

con le rispettive probabilità q², 2pq, p².

Questi valori di probabilità sono i coefficienti nello sviluppo del binomio (q + p·x)², vale a dire, q² + 2pq x + p² x² , perché rappresentano tutti i modi in cui è possibile considerare due fattori nel prodotto (q+px) (q+px).

Nel caso di tre estrazioni si ottiene:

                     s's's'                        0 successi
                     ss's' o s'ss' o s's's      1 successo
                     s'ss o ss's o sss'        2 successi
                     sss                          3 successi

con le rispettive probabilità  espresse dai coefficienti del polinomio

                  (q + p·x)³ = q³ + 3q²p x + 3qp² x² + p³ x³

che rappresentano tutti i modi in cui è possibile considerare tre fattori nel prodotto (q+px) (q+px)(q+px).

In questo caso, per esempio, la probabilità di ottenere esattamente due successi è data dal coefficiente di x², o, in altri termini, dal numero

che fornisce il numero delle combinazioni di tre elementi presi due a due, ciascuna con la sua probabilità di capitare: 
                                                  

Analogamente, la probabilità di tre successi in cinque prove è data da

e  quella di 12 successi in 20 prove:

L'esperimento può essere simulato con un programma.

In generale, la probabilità di r successi in n prove è data dal coefficiente di x^r nello sviluppo di (q + px)ⁿ, vale a dire:    

(funzione di probabilità binomiale o distribuzione di Bernoulli).

Possiamo arrivare agli stessi risultati anche da un altro punto di vista, utilizzando il calcolo combinatorio e dividendo il numero dei casi favorevoli per quello dei casi possibili.
Per esempio, per rispondere al problema posto inizialmente, si può osservare che i casi
possibili sono    ,    mentre quelli favorevoli     .
 

Il rapporto tra di essi è precisamente uguale al numero calcolato con la funzione di probabilità di cui sopra (≈ 0.18).

2. Senza rimbussolamento

Con riferimento all'urna considerata nel punto precedente (3 palline bianche e 2 rosse), questa volta si estraggono 3 palline, ma ogni volta senza rimettere dentro la pallina estratta.
Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 palline bianche?
 

In questo caso il calcolo, utilizzando le leggi di probabilità, è leggermente diverso, perchè si trattengono le palline estratte.
Risulta precisamente:
                                    

                      
Calcolando invece i casi possibili e quelli favorevoli, si può innanzitutto osservare che i primi sono dati dalle combinazioni di cinque elementi presi tre a tre:

Per quanto riguarda i secondi, poiché due palline bianche su tre si possono scegliere in 

                                   modi diversi,

e la rimanente rossa in

                                           modi,

si possono presentare in tutto  3 · 2 = 6 casi.

Applicando la definizione classica, la probabilità risulta quindi, anche seguendo quest'altra via:

Supponiamo adesso di aggiungere 18 palline bianche e 15 rosse, ovvero cambiamo la composizione dell'urna in 21 bianche e 17 rosse ed effettuiamo 7 estrazioni senza rimbussolamento; un ragionamento analogo  al precedente ci permette di determinare rapidamente la probabilità di ottenere esattamente 4 palline bianche:

casi possibili              

casi favorevoli       

 probabilità

In generale, con b palline bianche, r rosse, n estrazioni (n = b+r), la probabilità di ottenere esattamente m palline bianche è data da:

Utilizzando le leggi di probabilità, risulta, nel caso in questione di 7 estrazioni con 4 palline bianche:
 

                                                                    
 
e la conferma del risultato già ottenuto.