Un poliedro è una parte di spazio limitato da diverse facce piane (almeno quattro), vale a dire, un solido limitato da poligoni.
I poliedri regolari (convessi, le cui facce sono tutte poligoni regolari con lo stesso numero di lati e tali che da ogni vertice esce uno stesso numero di spigoli)
sono solo cinque:
- tetraedro (4 facce, triangoli equilateri)
- cubo (o esaedro) (6 facce, quadrati)
- ottaedro (8 facce, triangoli equilateri)
- dodecaedro (12 facce, pentagoni regolari)
- icosaedro (20 facce, triangoli equilateri)
Ciascuno di essi si può costruire con del cartoncino, a partire da sviluppi piani (II).
Indicando con f il numero delle facce, con v quello dei vertici e con s quello degli spigoli, verificate che per tutti e cinque
i poliedri di cui sopra vale la relazione (Eulero, 1785):
f + v - s = 2
2. Compilate la seguente tabella:
facce | vertici | spigoli | |
tetraedro | |||
cubo | |||
ottaedro | |||
dodecaedro | |||
icosaedro |
e osservate i risultati delle prime due colonne nei seguenti casi:
a) cubo e ottaedro
b) dodecaedro e icosaedro
c) tetraedro
Si dice che l'ottaedro è duale del cubo e viceversa. La dualità è una proprietà che determina il passaggio da un tipo di poliedro all'altro congiungendo i centri delle facce che hanno uno spigolo in comune.
Nei primi due casi i poliedri sono duali, nel terzo il poliedro è duale di se stesso.
3. Non è corretto dire che un poliedro regolare è una figura solida convessa le cui facce sono poligoni regolari congruenti (isometrici).
Infatti, gli angoli diedri o gli angoloidi devono essere anche isometrici (controesempio: due tetraedri regolari sovrapposti).
La richiesta sugli angoli diedri o sugli angoloidi equivale a quella sullo stesso numero di spigoli uscenti da ogni vertice.