1. I poliedri regolari

Un poliedro è una parte di spazio limitato da diverse facce piane (almeno quattro), vale a dire, un solido limitato da poligoni.

I poliedri regolari (convessi, le cui facce sono tutte poligoni regolari con lo stesso numero di lati e tali che da ogni vertice esce uno stesso numero di spigoli)
sono solo cinque:

-   tetraedro               (4 facce, triangoli equilateri)

-   cubo (o esaedro)    (6 facce, quadrati)

-   ottaedro               (8 facce, triangoli equilateri)

-   dodecaedro           (12 facce, pentagoni regolari)

-    icosaedro             (20 facce, triangoli equilateri)

Ciascuno di essi si può costruire con del cartoncino, a partire da sviluppi piani (II).

Indicando con f  il numero delle facce, con v quello dei vertici e con s quello degli spigoli, verificate che per tutti e cinque
i poliedri di cui sopra vale la relazione (Eulero, 1785):

                                                                                     f + v - s = 2

 

2. Compilate la seguente tabella:

  facce vertici spigoli
tetraedro      
cubo      
ottaedro      
dodecaedro      
icosaedro      

e osservate i risultati delle prime due colonne nei seguenti casi:

a) cubo e ottaedro

b) dodecaedro e icosaedro

c) tetraedro

Si dice che l'ottaedro è duale del cubo e viceversa. La dualità è una proprietà che determina il passaggio da un tipo di poliedro all'altro congiungendo i centri delle facce che hanno uno spigolo in comune.
Nei primi due casi  i poliedri sono duali, nel terzo il poliedro è duale di se stesso.

 

3.  Non è corretto dire che un poliedro regolare è una figura solida convessa le cui facce sono poligoni regolari congruenti (isometrici).
Infatti, gli angoli diedri o gli angoloidi devono essere anche isometrici (controesempio: due tetraedri regolari sovrapposti).
La richiesta sugli angoli diedri o sugli angoloidi equivale a quella sullo stesso numero di spigoli uscenti da ogni vertice.