La formula di Eulero  
 

Il termine generico della seguente successione, al crescere di n, come potete verificare, tende a stabilizzarsi intorno a un numero reale (non razionale) che vale circa 2.718  (si fa riferimento ad esso come al numero di Eulero e):

Questo fatto viene indicato con la notazione

Se k è un numero reale allora si può anche scrivere:

Estendendo ai numeri complessi le regole di calcolo valide per i numeri reali risulta corretta quindi la seguente uguaglianza:

                                                      .

Indichiamo ora con r e φ  modulo e argomento del numero complesso    , in modo che

                                           .

Risulta quindi:

Per quanto riguarda il modulo,osserviamo che

vale a dire, il modulo è 1.

Osserviamo ora che, se φ è misurato in radianti, al crescere di n,   φ= arctan(x/n) e x/n tendono a coincidere, come mostrano i calcoli seguenti:

dove nella prima colonna è riportato il valore di φ tendente a zero e nella seconda quello della sua tangente, oppure la figura dinamica sotto riportata, che verifica ancora l'uguaglianza in questione al diminuire della misura dell'angolo (agire sul punto P):

Quindi, per quanto riguarda l'argomento, possiamo scrivere:

e, dunque, otteniamo l'importante formula

                                          .