Equazione di un piano nello spazio

Consideriamo un piano p nello spazio definito da un suo punto F di coordinate p, q, r e da un vettore FN, non nullo, di componenti a, b, c, perpendicolare a tale piano.
Un altro punto qualsiasi P del piano in questione può allora essere rappresentato dal vettore FP che risulta sempre perpendicolare (ortogonale) al vettore FN.
Il prodotto scalare dei due vettori deve essere quindi uguale a zero.
Le componenti di FN sono, come si è detto,  a, b, c, mentre quelle di FP risultano (x-p), (y-q), (z-r), per cui

                                                                                  a (x-p) + b (y-q) + c (z-r) =0

ovvero, sviluppando i calcoli

                                                                  a x + b y + c z + d = 0                              (dove  d =  -ap - bq - cr )

che è l'equazione cercata.