Sulle soluzioni complesse dell'equazione di 2° grado

Consideriamo, per esempio, l'equazione del Cardano x² -10x + 40 = 0, della quale abbiamo visto come "soluzioni" i numeri complessi:

                                                            e             .

Sostituiamo alla variabile x il numero complesso x + i y e indichiamo con z la funzione di due variabili

                                 z = (x + i y)² - 10 (x + i y) + 40.

Sviluppando i calcoli e tenendo presente che  i² = -1, otteniamo:

                                  z = x² - y² + i y (2x - 10) - 10 x + 40

Ponendo  y = 0  oppure  x = 5  per eliminare il simbolo i, risulta

nel primo caso:            z = x² - 10 x + 40

nel secondo:               z = - y² + 15

In un sistema di assi cartesiani tridimensionale, il primo caso corrisponde a una parabola nel piano  x,z  che non tocca e non taglia l'asse x; il secondo caso, invece, corrisponde a una parabola nel piano x = 5  parallelo a quello determinato dagli assi y,z  che incontra il piano x,y nei punti di coordinate

che corrispondono proprio ai numeri complessi di cui sopra, vale a dire

                                                .

Mentre, nel caso reale, la parabola corrispondente incontra l'asse x, nel caso complesso abbiamo una parabola che incontra il piano x,y.