Duplicazione del cubo

Dalla leggenda di Atene e l'oracolo di Delfo: i greci, per difendersi da un'epidemia di peste, consultarono l'oracolo che, per placare le ire divine, specificò loro di raddoppiare il volume dell'ara cubica di Apollo. Il problema non è però riconducibile a una soluzione con riga e compasso, loro patrimonio culturale, per cui ricorsero all'aiuto di Platone che li rimproverò di aver trascurato la Geometria.

Da questa e altre leggende è nato il problema della duplicazione del cubo.

Forse il primo geometra che si è occupato del problema è stato Ippocrate di Chio che ha ridotto la questione ad inserire due termini x, y in progressione geometrica fra (la misura di) un segmento a e il suo doppio 2a.
In simboli:                         
                                      ovvero                e        .
 

Ricavando y dalla prima e sostituendolo nella seconda si trae proprio   , dove a rappresenta lo spigolo del cubo originale e x quello da costruire.

Ma come determinare il valore di x?
La soluzione più semplice è quella di Menecmo (350 a.C.), contemporaneo di Alessandro Magno, che riportiamo in termini moderni:

sono considerate le due parabole    x² = ay   e   y²=2ax e il punto P in cui si incontrano fuori dall'origine fornisce proprio, con le sue coordinate, i due termini cercati, in particolare, x (in figura, a = 1).