1. Derivata della funzione  y = sin(x)
 

I.   Studio del limite          .

Il valore del limite può essere congetturato utilizzando una calcolatrice o un foglio elettronico (in un foglio elettronico, ad esempio, scrivete 1 nella cella A1 (=1), =A1/2 nella cella A2  e  =sen(a1)/a1  nella cella B1;  copiate poi le formule nelle celle sottostanti (copia-incolla, trascinando il mouse).

Come potete vedere, il valore tende a 1.

Per determinare teoricamente il valore del limite in questione

                                                    ( 0 < h < p/2 )

osserviamo che l'area del settore circolare OPQ (vedi figura) è compresa

fra quelle dei triangoli OPQ e OQT, vale a dire:

Moltiplicando per  2/sin(h), risulta

Per  h che tende a zero, quindi, il limite del rapporto h/sin(h) è 1.
Di conseguenza, anche il rapporto sin(h)/h tende a 1.

Dunque,   il       è uguale a 1.

II. Studio del limite      .

Procediamo come con il precedente, utilizzando un foglio elettronico o una calcolatrice.
Quale valore può essere congetturato?

Dal punto di vista teorico risulta successivamente, tenendo presente il risultato del punto I:

III.  La derivata della funzione  y = sin(x) si può ora calcolare facilmente applicando la definizione di derivata e tenendo presenti i risultati di cui sopra:

Essa risulta quindi  y = cos(x).

2. In modo analogo, provate che la derivata della funzione y = cos(x) è la funzione y = - sin(x).

3. Applicando la regola della derivata del rapporto di due funzioni si può determinare facilmente la derivata della funzione       .
 

Verificate che risulta        oppure    

4.  Derivate delle funzioni circolari inverse
 

Per derivare la funzione y = arcsin(x), (y = arccos(x) e y = arctan(x) sono indicati, rispettivamente, con  cos^-1  e  tan^-1 sulla calcolatrice) per  -p/2 £  y £ p/2, osserviamo che   x = sin(y)  e che

Risulta quindi:

Il segno del radicale è assunto positivo, visto l'intervallo in cui varia y.

Analogamente, calcolate le derivate delle funzioni   y = arccos(x), per  0 £ y £ p, e  y = arctan(x), per   -p/2 < y < p/2 .

5.  Derivata della funzione  y = ln (x)
 

I. Il numero e di Eulero può essere approssimato per difetto e per eccesso da un programma creato sulla base di un algoritmo del tipo seguente:

100 --> n                             'poni 100 nella variabile n
cls                                      ' cancella lo schermo
1                                        ' etichetta
(1+1/n)^n --> x                    
(1+1/(n-1))^n -->max
(1+1/(n+1))^n --> min
if max-min < 0.001 then
print x : end                          ' termina l'elaborazione
end if
n + 100 --> n
goto 1                                  ' ritorna all'etichetta 1
 

Assumendo ora  l'uguaglianza

possiamo calcolare facilmente la derivata della funzione  .

Infatti, risulta successivamente, per definizione di derivata, essendo la funzione logaritmica una funzione continua:

Quindi la derivata risulta
                                    .

Inoltre, se  ,  poiché   risulta subito, di conseguenza:

                                      .

II. Possiamo arrivare alla derivata della funzione logaritmica anche per altra via, senza partire dall'uguaglianza di cui sopra

 e mettendo in luce, inoltre, importanti concetti matematici.

 
Calcolando le derivate delle seguenti funzioni:

probabilmente può sorprendere che manchi, tra le derivate, la funzione    .

Cerchiamo allora di determinare una funzione       la cui derivata sia proprio  .
 

Definiamo, per x > 0, la funzione    come l'area sotto la curva   tra 1 e x (positiva per x > 1, negativa per x < 1, nulla per x = 1) e verifichiamo che la sua derivata  è proprio    .

Infatti, per x >1 e h > 0, con riferimento alla figura seguente:

Quindi       .

Questo risultato continua a valere per tutti quei valori di x e h che hanno senso nel problema.

Utilizzando un programma per il calcolo dell'area sotto una curva, determiniamo approssimativamente,
a meno di 1/1000, il valore di x per cui risulta  .

Il numero in questione è uno dei più importanti in matematica, si indica con la lettera  e  e si dice numero di Eulero (così detto perché fu Eulero, il grande matematico svizzero, a proporre  questa notazione, nella prima metà del Settecento; si tratta di un numero trascendente e vale approssimativamente  2,718).

Quindi, l'area sotto la curva presa in considerazione è data da una funzione la cui derivata è proprio y = 1/x .

Ma, qual è questa funzione?

Per ricercarla, iniziamo a calcolare  l'area sotto la curva        per diversi valori di  x.

Verificate la corrispondente rappresentazione grafica :

La linea ha l'aspetto della curva logaritmica.
Ponendo y = k log(x) e log(x)=X, vediamo graficamente, basandoci sulla tabella dell'area, se i punti (X,y) sono davvero allineati, secondo l'equazione y= k X.

Dalla tabella  (log(x) rappresenta il logaritmo in base 10 di x):

risulta il grafico:

Come si vede, i punti sono proprio allineati.
Poiché l'equazione della retta è approssimativamente  y = 2,29 x (vale a dire k è circa 2,29), l'equazione della curva che esprime l'area risulta approssimativamente:
 
                                 y= 2,29 log(x).
 

Essendo poi     e         risulta, in definitiva,      vale a dire, la funzione cercata è proprio  y = ln (x).

In quest'ordine di idee (ma anche per altra via) è possibile dimostrare l'uguaglianza
 
                                                                                                                .