Prerequisiti:    Pendenza di una retta

Concetto di derivata e di differenziale

                                     

                                                                                                                    

1. Un oggetto è lasciato cadere da una torre alta 100 metri e la tabella precedente mostra, trascurando la resistenza dell'aria, gli spazi percorsi (in metri) dalla sommità in funzione del tempo trascorso (in secondi).

Quale sarà la velocità dell'oggetto dopo 3 secondi?

Una prima grossolana valutazione può essere data dividendo lo spazio percorso per il tempo:

                                      

Ma la velocità non è costante a causa dell'accelerazione di gravità e gli spazi percorsi sono dati approssimativamente dalla legge   .

Restringiamo allora l'intervallo, esaminando quello tra 2 e 3 secondi:

seconda valutazione             

Procediamo restringendo ulteriormente l'intervallo:

tra 2,5 e 3  (terza valutazione)                             

tra 2,95 e 3 (quarta valutazione)               

e così via, possiamo ottenere valori sempre più precisi.

Possiamo anche studiare gli intervalli per tempi decrescenti:

tra 3 e 3,2         30,38

    3 e 3,1         29,89

     3 e 3,05       29,645   

e  osservare che  (indicata con v la velocità):              29,155 < v < 29,645

Non riusciamo però, in questo modo, ad arrivare al valore esatto della velocità al tempo t = 3.

Cerchiamo un'altra strada.

Indichiamo con h l'intervallo di tempo trascorso dopo i 3 secondi; in tal caso lo spazio percorso sarà dato da     ,   con h > 0.

La velocità media nel tempo h sarà allora                      

 e tale velocità tende a 29,4 per h che tende a zero:

                    

In questo senso possiamo riguardare 29,4 m/sec come la velocità v nell'istante  t = 3 sec.

Consideriamo ora un generico istante di tempo t (un qualunque numero di secondi).

La velocità media nell'intervallo di tempo h risulta:

                               

Tale velocità, per h che tende a zero, tende al valore 9,8 t.

 

Possiamo scrivere quest'ultimo fatto in simboli matematici:

                         

che si legge  " il limite, per h tendente a zero, di 9,8 t + 4,9 h è uguale a 9,8 t ".

In definitiva, la velocità istantanea in un qualunque istante di tempo t è data da

                          

Ovviamente, per  t = 3 ritroviamo il risultato v = 29,4 ottenuto in precedenza.

Il limite suddetto esprime la rapidità di variazione dello spazio in funzione del tempo, nell'istante in questione (velocità); si dice derivata
della funzione s rispetto al tempo t.

Da un punto di vista geometrico, disegnata la curva    che rappresenta lo spazio percorso, e indicate con        le variazioni
del tempo e dello spazio, il       definisce  la pendenza della retta tangente alla curva nel suo punto di ascissa   , vale a dire la tangente dell'angolo che tale retta forma con l'asse x.   Si può verificare questo fatto muovendo il punto P nella figura seguente ed osservando
le posizioni che assume la secante TP facendo tendere h a zero.

 

2. 

Fissando l'attenzione sulla retta tangente, indichiamo con dt e ds gli incrementi del tempo e dello spazio riferiti ad essa  ( TH = dt,  HK = ds).

                                                              

Possiamo scrivere, quindi, anche        ..

L' incremento del tempo dt (differenza tra t e t+h) si dice differenziale della variabile indipendente, mentre  l' incremento dello spazio riferito alla tangente (non alla funzione) ds, dato da  ,  si dice differenziale della funzione (o della variabile dipendente)

Dunque, la derivata dello spazio rispetto al tempo, vale a dire la velocità v, può essere rappresentata dal rapporto dei due precedenti differenziali.

                                                   

Stiamo viaggiando comodamente seduti sulla nostra automobile in una strada secondaria e un'occhiata al tachimetro ci informa che la velocità in quel momento è 60 km/h. Se,valutando che la meta è a 30 km di distanza, pensiamo di essere a destinazione in mezz'ora, stiamo ragionando in termini di differenziale!