Rappresentazione nel piano dei numeri complessi

Un punto P del piano di coordinate  (2;3) può essere individuato con l'espressione algebrica 

dove, modificando opportunamente la notazione dei vettori per semplificare il simbolismo, i si può riguardare come l'operatore che determina la rotazione di 90° in senso antiorario, rispetto all'origine O delle coordinate, del versore

                                                                       .

Agendo sulla posizione del punto P nella figura seguente, in CABRI,si può vedere come varia la rappresentazione algebrica del punto (la dimensione in cm, facoltativa, dipende dall'unità di misura scelta).

Un altro modo per rappresentare il punto P è utilizzare la rappresentazione goniometrica

,  dove    è la distanza di P da O, mentre   è l'angolo che OP forma con l'asse delle ascisse x.

Confrontando con la prima rappresentazione risulta:

                               .

Ciascuna delle due rappresentazioni individua un punto nel piano o un nuovo tipo di numero corrispondente (numero complesso).

La misura si dice modulo  e l'angolo argomento del numero complesso.

Risulta    .

Al punto (0;1) sull'asse y è associato il numero i  (0 + i 1), mentre al punto (0; -1) il numero - i.

Così come  i · 1  è  il risultato di una rotazione di 1/4 di giro del punto (1;0), moltiplicando per i ancora una volta, i²· 1 è il risultato di una rotazione di angolo doppio e quindi ci fornisce il punto (-1,0), vale a dire  i · i = i² = -1.

I punti sull'asse x corrispondono ai numeri reali (asse reale), mentre quelli sull'asse y corrispondono ai numeri immaginari puri (asse immaginario); in generale, nel numero complesso  x + i · y, x è la parte reale, y quella immaginaria.

Un numero complesso può anche rappresentare un vettore nel piano e quindi le operazioni tra vettori possono effettuarsi algebricamente utilizzando i numeri complessi.

Indichiamo, nel seguito, un numero complesso con la notazione  a = x + i y  oppure   a = x + y i.

Un'equazione di 2° grado, come x² -10x +40 = 0, può avere per soluzioni numeri complessi che, analogamente a quelle reali (intersezioni della parabola corrispondente con l'asse x), hanno un'interpretazione geometrica.