1Introduzione al concetto di limite
 

Considerare la funzione 

                                              

il cui grafico è illustrato in figura:

Scopri

a)   Come si vede, aumentando l'ascissa x del punto sulla curva (muovi il punto P), il valore della funzione y tende a 2, nel senso che più aumenta x più y si avvicina a 2, mantenendosi superiore.

Quanto grande bisogna prendere x affinché y disti da 2 meno di 1/100 ?

Deve essere   

                               

 

ovvero, risolvendo la disequazione,            .

E, affinché y disti da 2 meno di 1/1000, quanto grande bisogna prendere x ?

Assegnare a piacere la distanza della funzione da 2 (piccola quanto si vuole) e poi determinare quel valore di x dopo il quale la condizione è soddisfatta (vale a dire, la distanza è minore del valore assegnato).

                

b)  Se l'ascissa x si avvicina ad 1 dalla parte destra (muovi opportunamente il punto P sulla curva),  y aumenta. Volendo che y superi 100, quanto vicino ad 1 bisogna prendere x ?

Deve essere 

                            

ovvero, risolvendo la disequazione, risulta  

                                                      

vale a dire, x deve rappresentare un punto del segmento di lunghezza    , a partire da 1.

La verifica può ancora effettuarsi con la tabella elettronica o con una qualsiasi calcolatrice.

Volendo che y superi 1000, quanto vicino ad 1 occorre prendere x ?

Assegnare a piacere un valore di y da superare e poi determinare l'intervallo a destra di 1 in cui deve essere presa l'ascissa del punto per soddisfare alla condizione.

 

c)  Se l'ascissa di P si avvicina ad 1 dalla parte sinistra, l'ordinata y diventa sempre più piccola (grande in valore assoluto); volendo che la y sia inferiore a  -100, quanto vicino ad 1 occorre prendere x ?

Deve essere 

                                 

Risolvendo la  disequazione si trova  

                                                           

per cui l'intervallo in cui prendere x, a sinistra di 1, ha lunghezza   

                                                          

Assegnare a piacere una soglia per y e poi determinare l'intervallo per l'ascissa in modo che y, calcolata in quei valori, risulti inferiore alla soglia fissata.

                                                             

d)   Se l'ascissa di P diventa sempre più piccola, y si avvicina ancora a 2, ma mantenendosi inferiore.

Volendo che y disti da 2 meno di 1/100, quanto piccolo occorre prendere x ?

Deve essere

                          

e quindi, risolvendo l'equazione, risulta 

                                                                 

Assegnare a piacere la distanza della funzione da 2 e poi determinare per quali valori di x la condizione è soddisfatta.

             

2.  Con riferimento al precedente punto 1, nel caso a  si dice che il limite di y (della funzione y), per x che tende a più infinito, è 2  e si scrive:

                                    

Nel caso si dice che il limite di y, per x che tende a 1 da destra, è più infinito  e si scrive:

                                   

Nel caso si dice che il limite di y, per x che tende a 1 da sinistra, è meno infinito e si scrive:

                                  

Nel caso d  si dice che il limite di y, per x che tende a meno infinito, è 2 e si scrive:                                

                                 

Poiché il limite di y, per x che tende a più o meno infinito è lo stesso, si scrive anche

                                  

e si dice che il limite di y, per x tendente all'infinito, è 2.

Perché esista il limite della funzione in un punto, i valori da destra (limite destro) e da sinistra (limite sinistro) devono coincidere.

 

3.   Concetto di funzione continua

Si dice che una funzione y è continua in un punto di ascissa  t dove è definita, se risulta

                              

Dunque, se non esiste il limite oppure se esiste ma è diverso dal valore della funzione nel punto in questione, la funzione non è continua (è discontinua) in quel punto.

Illustrare qualche esempio di funzione continua o discontinua in un punto.

 

 

4.  Introduzione al teorema fondamentale del Calcolo
 

Supponiamo noto, nel seguito, il concetto di derivata di una funzione.

Il grafico seguente rappresenta la funzione   

Se indichiamo con F(x) la funzione che esprime l'area sotto la curva tra 0 e x, possiamo osservare che 

                           

e quindi, per    , risulta                .

Per calcolare l'area sotto la curva allora è sufficiente individuare quella funzione  F(x) la cui derivata è 

<!>Per determinare l'area, ad esempio, tra 1 e 5, è allora sufficiente calcolare la differenza

                                         

Analogamente, l'area tra -1 e 0 o tra -3 e -2  si può calcolare rapidamente con le differenze 

                                          

risultati attesi, essendo la funzione simmetrica rispetto all'asse delle y.

Verificare che l'area sotto la curva  <!> , tra  0 e  4,  risulta negativa.