1. Introduzione al concetto di limite
Considerare la funzione
il cui grafico è illustrato in figura:
a) Come si vede, aumentando l'ascissa x del punto sulla curva (muovi il punto P), il valore della funzione y tende a 2, nel senso che più aumenta x più y si avvicina a 2, mantenendosi superiore.
Quanto grande bisogna prendere x affinché y disti da 2 meno di 1/100 ?
Deve essere
ovvero, risolvendo la disequazione, .
E, affinché y disti da 2 meno di 1/1000, quanto grande bisogna prendere x ?
Assegnare a piacere la distanza della funzione da 2 (piccola quanto si vuole) e poi determinare quel valore di x dopo il quale la condizione è soddisfatta (vale a dire, la distanza è minore del valore assegnato).
b) Se l'ascissa x si avvicina ad 1 dalla parte destra (muovi opportunamente il punto P sulla curva), y aumenta. Volendo che y superi 100, quanto vicino ad 1 bisogna prendere x ?
Deve essere
ovvero, risolvendo la disequazione, risulta
vale a dire, x deve rappresentare un punto del segmento di lunghezza , a partire da 1.
La verifica può ancora effettuarsi con la tabella elettronica o con una qualsiasi calcolatrice.
Volendo che y superi 1000, quanto vicino ad 1 occorre prendere x ?
Assegnare a piacere un valore di y da superare e poi determinare l'intervallo a destra di 1 in cui deve essere presa l'ascissa del punto per soddisfare alla condizione.
c) Se l'ascissa di P si avvicina ad 1 dalla parte sinistra, l'ordinata y diventa sempre più piccola (grande in valore assoluto); volendo che la y sia inferiore a -100, quanto vicino ad 1 occorre prendere x ?
Deve essere
Risolvendo la disequazione si trova
per cui l'intervallo in cui prendere x, a sinistra di 1, ha lunghezza
Assegnare a piacere una soglia per y e poi determinare l'intervallo per l'ascissa in modo che y, calcolata in quei valori, risulti inferiore alla soglia fissata.
d) Se l'ascissa di P diventa sempre più piccola, y si avvicina ancora a 2, ma mantenendosi inferiore.
Volendo che y disti da 2 meno di 1/100, quanto piccolo occorre prendere x ?
Deve essere
e quindi, risolvendo l'equazione, risulta
Assegnare a piacere la distanza della funzione da 2 e poi determinare per quali valori di x la condizione è soddisfatta.
2. Con riferimento al precedente punto 1, nel caso a si dice che il limite di y (della funzione y), per x che tende a più infinito, è 2 e si scrive:
Nel caso b si dice che il limite di y, per x che tende a 1 da destra, è più infinito e si scrive:
Nel caso c si dice che il limite di y, per x che tende a 1 da sinistra, è meno infinito e si scrive:
Nel caso d si dice che il limite di y, per x che tende a meno infinito, è 2 e si scrive:
Poiché il limite di y, per x che tende a più o meno infinito è lo stesso, si scrive anche
e si dice che il limite di y, per x tendente all'infinito, è 2.
Perché esista il limite della funzione in un punto, i valori da destra (limite destro) e da sinistra (limite sinistro) devono coincidere.
3. Concetto di funzione continua
Si dice che una funzione y è continua in un punto di ascissa t dove è definita, se risulta
Dunque, se non esiste il limite oppure se esiste ma è diverso dal valore della funzione nel punto in questione, la funzione non è continua (è discontinua) in quel punto.
Illustrare qualche esempio di funzione continua o discontinua in un punto.
4. Introduzione al teorema fondamentale del Calcolo
Supponiamo noto, nel seguito, il concetto di derivata di una funzione.
Il grafico seguente rappresenta la funzione
Se indichiamo con F(x) la funzione che esprime l'area sotto la curva tra 0 e x, possiamo osservare che
e quindi, per , risulta .
Per calcolare l'area sotto la curva allora è sufficiente individuare quella funzione F(x) la cui derivata è
<!>Per determinare l'area, ad esempio, tra 1 e 5, è allora sufficiente calcolare la differenza
Analogamente, l'area tra -1 e 0 o tra -3 e -2 si può calcolare rapidamente con le differenze
risultati attesi, essendo la funzione simmetrica rispetto all'asse delle y.
Verificare che l'area sotto la curva <!> , tra 0 e 4, risulta negativa.