Teoremi del Calcolo
Considerare una funzione f (x) continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile in quello aperto (a,b); allora, se f(a) = f(b), deve esistere, nell'intervallo aperto, un punto c tale che la derivata f'(x) = 0.
Cominciamo a persuaderci che se cade qualche ipotesi il teorema può non essere vero.
La funzione f = x - INT(x) tale che f(0) = f(1) non è continua nell'intervallo [0,1] e non esiste il punto c in questione.
La funzione f = x è continua nell'intervallo [0,1], ma f(0) è diverso da f(1) e non esiste il punto c.
La funzione
è continua in [0,1], risulta f(0) = f(1), ma non è derivabile in tutti i punti dell'intervallo aperto e non esiste il punto c.
A questo punto cerchiamo di giustificare il teorema, supponendo che sotto tutte quelle ipotesi il punto c non esista.
Poiché f è continua deve avere un valore massimo e un valore minimo in qualche punto dell'intervallo [a,b];non potendoli avere nell'intervallo aperto (altrimenti esisterebbe c) li assumerà negli estremi a e b; ma f(a) = f(b) e quindi minimo e massimo hanno lo stesso valore: la funzione deve essere allora costante nell'intervallo, il che comporta f'(x) = 0 per tutti i punti interni, in contraddizione con quanto abbiamo inizialmente supposto.
2. Il teorema di de l' Hopital
Considerare il rapporto
supponendo che le funzioni f(x) e g(x) e le loro derivate f'(x), g'(x) siano continue per x = a e risulti
con g'(a) diversa da zero.
In tal caso, il limite del rapporto delle due funzioni, per x tendente ad a, è uguale a quello, se esiste, del rapporto delle derivate.
In simboli:
Infatti, per ipotesi, si può scrivere:
e, d'altra parte, poiché le derivate sono continue:
da cui segue proprio la tesi.
Per esempio, il
è 1/2, perché
.
Talvolta si arriva a sciogliere una forma indeterminata applicando più volte la regola:
ma non è detto che questo succeda sempre.
Il teorema si può enunciare sotto ipotesi
meno restrittive e dimostrare
utilizzando
quello di Rolle; esso, comunque, esprime una condizione sufficiente, ma
non necessaria.
Oltre alla forma
, il teorema
si applica alla
.
Le forme indeterminate seguenti possono essere ricondotte ai due casi precedenti e quindi risolte applicando ancora il teorema in questione:
La forma
non è,
invece, indeterminata.
Osserviamo, infine, che il teorema si può applicare anche per x tendente a infinito; infatti si può scrivere, ponendo x = 1/t :
Considerare una funzione f (x) continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile in quello aperto (a,b); allora deve esistere, nell'intervallo aperto, un punto c tale che
Considerare, infatti, la funzione d(x)= f(x) - r(x), differenza fra la funzione f(x) e la retta r(x), la quale soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle; essa è data, per ogni x, dalla lunghezza del segmento di maggior spessore nella figura precedente (muovere il punto c per vederne le variazioni).
Poiché, quindi, d(a) = d(b) = 0, esisterà nell'intervallo (a,b) un punto c tale che d'(c) = 0; vale a dire, f'(c) - r'(c) = 0.
Ne segue proprio
poiché
.
Questo teorema giustifica formalmente il seguente fatto intuitivo: se ho percorso, ad esempio, 100 km alla velocità media di 50 km/h, ci sarà sicuramente un punto in cui la velocità istantanea è stata proprio di 50 km/h.