1. Il concetto di curvatura nel piano
 

Per determinare la curvatura in un punto P di una curva (ovvero, lo scostamento dalla retta tangente) si considerano due altri punti P1, P2, sulla curva, vicini a P, e la circonferenza che passa per i suddetti tre punti; la posizione limite della circonferenza, per P1 e P2 che tendono a P, determina un raggio r che permette di definire la curvatura come il rapporto 1/r.

Per esempio, calcoliamo la curvatura nel punto (1;1) del ramo di iperbole  y = 1/x.

Partendo dall'equazione della circonferenza  x²+y²+ax+by+c=0 e imponendole il passaggio per i tre punti:

si ottiene un sistema sulle incognite a, b, c, che, risolto, fornisce  la soluzione in funzione di k (il calcolo può essere velocizzato con un software algebrico):

Come si vede, per  k ® 0,  risulta  a = - 4,  b = - 4,  c = 6.

La circonferenza limite di curvatura è quindi  x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0 (risulta come elemento separatore tra quelle tangenti internamente e quelle tangenti esternamente), il cui raggio vale  .

Dunque, la curvatura in questione risulta 

                                                           .

E' da osservare che il centro della circonferenza è sulla retta y = x, perpendicolare alla tangente y = -x + 2, nel punto (1;1).

Ripetendo lo stesso procedimento, per esempio, nel punto (2; 1/2), e quindi con i punti:

              

si ottengono i valori:

e quindi una curvatura (inferiore, come ci si aspetta) di circa 0,16.

2. Concetto di curvatura di una superficie

Considerato un punto P di una superficie, tutte le tangenti in P alle linee sulla superficie che passano per P stanno su uno stesso piano: tale piano si dice tangente alla superficie nel punto P.
La retta perpendicolare al piano tangente in P si dice normale alla superficie in P.

La curvatura di una superficie in un suo punto P fornisce una misura dello scostamento di essa dal piano tangente, in analogia con il caso del piano.
Ogni piano che contiene la normale alla superficie in P taglia quest'ultima secondo una sezione normale per P, che avrà una determinata
curvatura: tra tutte queste curvature, ne esisterà una minima k1 e una massima k2, il cui prodotto definisce proprio la curvatura della
superficie in P.

Nell'ellissoide di figura (x²+y²+z²=1), ad esempio, entrambe le curvature estreme (che si trovano su piani ortogonali) sono negative,
perchè il centro di curvatura si trova sulla semiretta negativa della normale; di conseguenza, la curvatura della superficie
k = k1·k2 = 1/(r1· r2) risulta positiva.

                                                 

Nella superficie a sella, invece, la curvatura è negativa (in figura, z =x²-y²).

Nel cilindro, come nel piano, la curvatura è nulla. Perchè?

Nel toro (ciambella), infine, in alcune regioni è positiva, in altre negativa.
Perchè?